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Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Contínua

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Enunciado

Tarefa da aula – 7 – Probabilidade e Estatística (ENG1029) – 2020/2 – Questão 4

Seja ( X ,   Y ) um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função conjunta:

f x , y = 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3   ,     p a r a   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

a) Calcule o valor da constante k para que seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias e Y . Apresente a função conjunta.

b) Encontre a densidade marginal de X e de Y .

c) Encontre a densidade condicional de Y dado que X = x

d) Determine se X e Y são Independentes.

Passo 1

a) E aí gurizada!? Bora pra quarta questão dessa Tarefinha 7 .

Pra que seja uma função de densidade, a integral da função tem que ser 1 . E no caso, como...

x ≥ 0 ,   y ≥ 0

Isso quer dizer que os limites de integração, tanto em x como em y vão de zero até o infinito positivo ( + ∞ ) ...

∫ 0 + ∞ ∫ 0 + ∞ 1 4 ⋅ c ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ e - x 3 - y 3 d x d y = 1

∫ 0 + ∞ 1 4 ⋅ c ⋅ y 2 ⋅ e - y 3   d y ∫ 0 + ∞ x ² ⋅ e - x 3   d x = 1

Passo 2

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso... Começando pelo x :

u = - x 3

d u = - 3 x ²   d x

x ²   d x = - d u 3

Assim:

∫     x ² ⋅ e - x 3   d x = ∫     - 1 3 ⋅ e u d u

∫     x ² ⋅ e - x 3   d x = - 1 3 ⋅ e u

∫     x ² ⋅ e - x 3   d x = - 1 3 ⋅ e - x 3

E com os limites de integração:

∫ 0 + ∞   x 2 ⋅ e - x 3   d x = - 1 3 ⋅ e - x 3 0 + ∞

∫ 0 + ∞   x 2 ⋅ e - x 3   d x = 0 - - 1 3 = 1 3

Passo 3

Note que a integral em y fica assim:

∫ 0 + ∞ 1 4 ⋅ c ⋅ y 2 ⋅ e - y 3 d y = 1 4 ⋅ c ∫ 0 + ∞ y ² ⋅ e - y 3   d y

Só que a parte de dentro é igualzinha a integral que calculamos para x (trocando x por y ). Então:

∫ 0 + ∞ 1 4 ⋅ c ⋅ y 2 ⋅ e - y 3 d y = 1 4 ⋅ c ⋅ 1 3 = c 12

Assim, como a gente viu, o produto das duas tem que ser igual a 1 .

c 12 ⋅ 1 3 = 1

c = 36

Obtido c , então...

f x , y = 1 4 ⋅ c ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ e - x 3 - y 3  

f x , y = 9 x 2 y 2 e - x 3 - y 3

Passo 4

(b) Bora pro segundo item, agora

Para encontrar a densidade marginal de X é só resolver a integral abaixo.

f x x = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² e - x 3 - y 3   d y

Veja que a gente tá integrando em y , pra fazer a marginal de X .

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 y 2 d y

Substituindo isso dentro da integral. Quando y = 0 → u = - x 3 e quando y = + ∞ → u = - ∞ . Logo;

f x x = ∫ - x ³ - ∞ - 3 x 2 ⋅ e u   d u

    = - 3 x 2 ⋅ ( e u ) - x ³ - ∞

                = - 3 x ² e ∞ - - 3 x 2 e - x 3

Como x 2 e ∞ = 0 , então...

f x x = 3 x ² e - x 3    

Passo 5

Pra marginal de Y é a mesma ideia...

f y y = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² ⋅ e - x 3 - y 3   d x

Vamos usar uma substituição simples aí de novo...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 x ²   d x

Quando x = 0 → u = - y 3 e quando x = + ∞ → u = - ∞ .

f y y = ∫ - y ³ - ∞ - 3 y 2 ⋅ e u   d u

    = - 3 y 2 ⋅ ( e u ) - y ³ - ∞

                  = - 3 y ² e ∞ - - 3 y ² ⋅ e - y 3

Como y 2 e ∞ = 0 ...

f y y = 3 y ² e - y 3    

Passo 6

(c) A próxima coisa a fazer agora, é encontrar a densidade condicional de Y dado X = x ...

f Y X = x = f x , y f x

Já temos esses dois valores... Então, é só dividir.

f Y X = x = 9 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ e - x 3 - y 3 3 ⋅ x 2 ⋅ e - x 3

f Y X = x = 3 y ² e - y 3

Passo 7

d) E por último, falta verificar se X e Y   são independentes!

Para provar que X e Y são independentes, podemos lembrar de que a seguinte relação tem que ser verdadeira para haver independência:

f x , y = f x x ⋅ f y ( y )

E como já conhecemos as marginais, basta ver se o resultado é igual à função de probabilidade conjunta f ( x , y ) ...

f x , y = f x x ⋅ f y ( y )

f x , y = 3 x ² e - x 3 ⋅ 3 y ² e - y 3

f x , y = 9 x 2 y 2 e - x 3 - y 3

9 x 2 y 2 e - x 3 - y 3 = 3 x ² e - x 3 ⋅ 3 y 2 e - y 3   ( V e r d a d e i r o )

E o valor bate exatamente com o f ( x , y ) que obtivemos no primeiro item. Logo, X e Y são independentes!

Resposta

a   c = 9

b   f x = 3 x ² e - x 3     e       f y = 3 y ² e - y 3

c   3 y 2 e - y 3

d   S ã o   i n d e p e n d e n t e s

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