Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Contínua

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Enunciado

Uma companhia telefônica A cobra para chamadas telefônicas uma taxa inicial de K reais mais R $ 0,15 por minuto, enquanto uma companhia telefônica B cobra apenas R $ 0,10 para cada minuto elevado ao quadrado. Assim as receitas, por chamada são R a = K + 0,15 T e R b = 0,10 T 2 , onde T é a duração da chamada, em minutos. Por qualquer fração de minuto no final de uma chamada, ambas as companhias cobram por um minuto inteiro. Suponha que o tempo de duração de uma chamada em minutos siga um modelo exponencial com média igual a 4 se a ligação é feita usando a companhia A e um modelo exponencial com média igual a 2 se a ligação é feita usando a companhia B .

  1. Qual deveria ser o valor de K para que E R a = E R b ,   a receita média por chamada da companhia A seja igual a receita média por chamada da companhia B ?
  2. No ultimo mês a companhia A resolveu implantar uma nova estratégia para calcular a taxa inicial K : para ligações de até x minutos de duração adota-se uma taxa inicial de R $ 0.50 e para ligações com mais de x minutos adota-se uma taxa de R $   0,10 . Indique em qual faixa de valores deve estar o x para que o valor esperado de K seja maior que 0,20 .
  3. Um cliente tem dois telefones, um associado a companhia A e outro a companhia B . Para fazer uma ligação o cliente escolhe o telefone da companhia A com 70 % de probabilidade e escolhe o da companhia B com 30 % de probabilidade. Calcule a probabilidade deste cliente permanecer um tempo superior a 3 minutos numa ligação.

Passo 1

Importante a gente apenas nos atentar para a explicação final dada no enunciado, onde o mesmo sugere que se usarmos a companhia A , então T ~ exp ⁡ ( 1 / 4 ) e a média E T = 4 . Se usarmos a companhia B , T ~ exp ⁡ ( 1 / 2 ) com E T = 2 .

Passo 2

(a) Agora vamos analisar as médias de cada companhia, assim temos que

E R a = E K + 0,15 T = E K + E 0,15 T = K + 0,15 E T = K + 0,15 ⋅ 4

= K + 0,6

e

E R b = E 0,10 T 2 = 0,10 E T 2

Agora lembre do seguinte

V a r T = E X - E X 2 = E X 2 - 2 X E X + E 2 X = E X 2 - E 2 X

Assim

E R b = 0,10 ⋅ V a r T + E 2 X = 0,10 ⋅ 4 + 4 = 0,80

Logo para que E R a = E R b ,

K = 0,20

Passo 3

(b) A questão sugere que para T ≤ x , K = R $ 0,50 , enquanto para T > x , K = R $ 0,10

Assim o valor esperado de K deve seguir

E K = 0,50 P T ≤ x + 0,1 P T > x

Agora perceba que

P T > x = 1 - P T ≤ x

Logo

E K = 0,50 P T ≤ x + 0,1 1 - P T ≤ x = 0,1 + 0,4 P T ≤ x

Na qual para a companhia A vale o modelo exponencial 1 / 4 , assim

P T ≤ x = ∫ 0 x 1 4 e - 1 4 u d u = - e - 1 4 u 0 x = 1 - e - x 4

Desta maneira

E K = 0,1 + 0,4 1 - e - x 4 = 0,5 - 0,4 ⋅ e - x 4

Agora queremos saber para que faixa de x temos K > 0,20 , ou seja

0,5 - 0,4 ⋅ e - x 4 > 0,20

Que implica em

e - x 4 < 0,75

Passando o l n dos dois lados

- x 4 < ln ⁡ 0,75 → x > 1,16

Passo 4

(c) O enunciado do item já sugere que P A = 0,7 e P B = 0,3

Assim queremos

P T > 3 = P A P ( T > 3 , A ) + P B P T > 3 , B

Na mesma meneira que fizemos no item (b), temos que

P T > x = 1 - P T ≤ x = 1 - 1 - exp ⁡ - x E T = exp ⁡ - x E T

Logo teremos que

P T > 3 = 0,7 exp ⁡ - 3 4 + 0,3 exp ⁡ - 3 2 ≈ 0,398

Resposta

  1. K = 0,20
  2. x > 1,16
  3. P T > 3 ≈ 0,398

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