Uma companhia telefônica cobra para chamadas telefônicas uma taxa inicial de reais mais por minuto, enquanto uma companhia telefônica cobra apenas para cada minuto elevado ao quadrado. Assim as receitas, por chamada são e , onde é a duração da chamada, em minutos. Por qualquer fração de minuto no final de uma chamada, ambas as companhias cobram por um minuto inteiro. Suponha que o tempo de duração de uma chamada em minutos siga um modelo exponencial com média igual a se a ligação é feita usando a companhia e um modelo exponencial com média igual a se a ligação é feita usando a companhia .

1. Qual deveria ser o valor de para que a receita média por chamada da companhia seja igual a receita média por chamada da companhia ?
2. No ultimo mês a companhia resolveu implantar uma nova estratégia para calcular a taxa inicial : para ligações de até minutos de duração adota-se uma taxa inicial de e para ligações com mais de minutos adota-se uma taxa de . Indique em qual faixa de valores deve estar o para que o valor esperado de seja maior que .
3. Um cliente tem dois telefones, um associado a companhia e outro a companhia . Para fazer uma ligação o cliente escolhe o telefone da companhia com de probabilidade e escolhe o da companhia com de probabilidade. Calcule a probabilidade deste cliente permanecer um tempo superior a 3 minutos numa ligação.

(a) Agora vamos analisar as médias de cada companhia, assim temos que

e

Agora lembre do seguinte

Assim

Logo para que ,

(b) A questão sugere que para , , enquanto para ,

Assim o valor esperado de deve seguir

Agora perceba que

Logo

Na qual para a companhia vale o modelo exponencial , assim

Desta maneira

Agora queremos saber para que faixa de temos , ou seja

Que implica em

Passando o dos dois lados

(c) O enunciado do item já sugere que e

Assim queremos

Na mesma meneira que fizemos no item (b), temos que

Logo teremos que