Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
Passo 1
Vamos lá! Temos ao todo 8 bolas, sendo:
3 vermelhas e 5 pretas
Tirando três bolas sem reposição, podemos ter (lembrando que a v.a. conta o número de bolas pretas retiradas):
Certo?
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos:
Passo 2
1º caso:
O único jeito de termos três bolas pretas é:
Pra calcular essa probabilidade, vamos fazer da seguinte forma:
Pra primeira bola retirada, temos 5 pretas de um total de 8 bolas, então a probabilidade de a primeira ser preta será de
Agora, já tendo retirado a primeira bola e ela sendo preta, temos 4 bolas pretas de um total de 7 bolas, então a probabilidade de a segunda bola ser preta agora é de
Usando o mesmo raciocínio, pra terceira bola temos que a probabilidade será de
Agora é só multiplicar tudo (queremos a probabilidade da primeira ser preta e a segunda ser preta e a terceira ser preta):
Passo 3
2º caso:
Agora vai mudar um pouquinho a conta. É o seguinte: pra gente ter duas bolas pretas, concorda que os resultados possíveis são
Calculando a probabilidade de cada um deles que nem no passo anterior, temos o seguinte:
Agora é só somar os três (podemos ter duas bolas pretas ou do primeiro jeito ou do segundo ou do terceiro):
Passo 4
3º caso:
As possibilidades para termos 1 bola preta são:
Fazendo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos:
Passo 5
4º caso:
Agora a única possibilidade é
Calculando da mesma forma que no passo 2:
Passo 6
Então a distribuição de X será:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)