Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a distribuição de X. (Observe que, nesse problema, pelo menos teoricamente, X pode assumir um número infinito de valores.)

Passo 1

Vamos lançar moedas até dar cara, ou seja, enquanto der coroa continuamos a jogar.

Podemos ter as seguintes possibilidades:

Note que não temos um limite para X, então calcularemos até certo ponto apenas.

Passo 2

1º caso: (K) →   Conseguimos K na primeira tentativa. → X = 1

P X = 1 = P K = 1 2

2º caso: (CK) Conseguimos K na segunda tentativa → X = 2

P X = 2 = P C K = P C . P K = 1 2 . 1 2 = 1 2 2

Perceba que aqui nós multiplicamos as probabilidades de quando dá C e quando dá K. Fazemos isso pois são eventos sucessivos, ocorrem um atrás do outro

3º caso: (CCK) →   Conseguimos K na terceira tentativa → X = 3

P X = 3 = P C C K = P C . P C . P K = 1 2 . 1 2 . 1 2 = 1 2 3

...

N-ésimo caso: (CCC..CK) Conseguimos K na n-ésima tentativa → X = n

P X = n = P C C … C K = P C . P C … . P C . P K = 1 2 n - 1 . 1 2 = 1 2 n

Passo 3

Construindo a tabela de distribuição de X:

Resposta

Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

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