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Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

Ver Teoria
Exercício 151234567891011121314

Enunciado

UFPE; Sem campus; Estatística 1; 2ºEE; 2022.2; Questão 1

Seja X uma variável aleatória que assume valores no conjunto   { − 2 ,   −   1,1 , 2 } . Sendo,

  P ( X   = − 2 )   =   0,2 ;   P ( X   =   − 1 )   =   0,3 ;   P ( X   =   1 )   = 0,4   e   P ( X   =   2 )   =   0.1 .  

Em cada caso, calcule a esperança e variância da variável aleatória Y :

( a ) Y   =   7 X   −   1   ( b ) Y   =   | X | .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Estatística. Dessa vez, queremos calcular certos valores esperados que dependem de uma variável aleatória X com a seguinte massa de probabilidade.

  P ( X   = − 2 )   =   0,2 ;     P ( X   =   − 1 )   =   0,3 ;     P ( X   =   1 )   = 0,4   e   P ( X   =   2 )   =   0.1 .  

Nosso objetivo é calcular os valores esperados e a variância das variáveis aleatórias a seguir

( a ) Y   =   7 X   −   1   ( b ) Y   =   | X | .

Bem, para essa questão vamos relembrar a definição de esperança para uma variável discreta e algumas de suas propriedades.

E [ X ] = ∑ X = x x P ( X = x )

Ou seja, é a soma dos valores da variável ponderada pelas suas probabilidades.

E vale lembrar, que a esperança é um operador linear, isto é:

Sejam X ,   Y variáveis aleatórias, e a , b ∈ R , então

E [ a X + b Y ] = a E [ X ] + b E [ Y ]

E não vamos esquecer da famosa lei do estatístico preguiçoso que diz que para uma função f

E [ f ( X ) ] = ∑ X = x f ( x ) P ( X = x )

E temos que

V a r ( X ) = E [ X 2 ] - E 2 [ X ]

e além disso,

V [ a X + b ] = a 2 V [ X ]

Passo 2

Vamos começar calculando a nossa letra a ) .

Queremos

E [ Y ]

onde

Y   =   7 X - 1

Ora então temos:

E [ Y ] = E [ 7 X - 1 ]

pela linearidade

= 7 E [ X ] - 1

Vamos calcular a esperança de X .

E [ X ] = ∑     x ∈ { − 2 ,   −   1,1 , 2 } x P ( X = x )

= - 2 P ( X = - 2 ) - 1 P ( X = - 1 ) + 1 P ( X = 1 ) + 2 P ( X = 2 )

Substituindo as probabilidades

= - 2 * 0.2 - 1 * 0.3 + 1 * 0.4 + 2 * 0.1

= - 0.1

Logo,

E [ Y ] = 7 E [ X ] - 1

= - 1.7

E a variância de Y é:

V a r ( Y ) = V a r ( 7 X - 1 )

= 49 * V a r ( X )

Usando a definição da variância

= 49 * ( E [ X 2 ] - E 2 [ X ] )

= 49 ( E [ X 2 ] + ( - 0.1 ) 2 )

Vamos calcular E [ X 2 ] . Pela lei do estatístico preguiçoso

E [ X 2 ] = ( - 2 ) 2 P ( X = - 2 ) + ( - 1 ) 2 P ( X = - 1 ) + 1 2 P ( X = 1 ) + 2 2 P ( X = 2 )

= 1,9

Logo

V a r ( Y ) = 49 * V a r ( X )

= 49 ( 1,9 + ( - 0.1 ) 2 )

Passo 3

Vamos para a letra b )

Queremos

E [ Y ]

onde

Y   =   | X |

Logo, pela lei do estatístico preguiçoso

E [ Y ] = E [ | X | ]

= | - 2 | P ( X = - 2 ) + | - 1 | P ( X = - 1 ) + 1 P ( X = 1 ) + 2 P ( X = 2 )

= 1.3

E sua variância é:

V [ Y ] = V [ | X | ]

= E [ | X | 2 ] - E 2 [ | X | ]

Bem, já calculamos essas esperanças. Note | X | 2 = X 2

Logo

V [ | X | ] = 1,9 + ( 1.3 ) 2

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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