Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

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Enunciado

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Passo 1

O que o enunciado quer? A distribuição de X, que ele definiu como uma variável aleatória igual ao número de bolas pretas da nossa extração. Podemos ter:

3   b o l a s   p r e t a s → X = 3

2   b o l a s   p r e t a s → X = 2

1   b o l a   p r e t a → X = 1

n e n h u m a   b o l a   p r e t a → X = 0

Vamos olhar cada caso melhor?

Passo 2

1º caso: Nenhuma bola preta → X = 0

Nesse caso, teríamos:

V V V

Temos três bolas vermelhas de um total de 8 bolas. A probabilidade da primeira bola ser vermelha então é de 3 8 .

Como estamos repondo as bolas retiradas, a probabilidade de a segunda ser vermelha também é de 3 8 .

Mesma coisa para a terceira bola!

Então a probabilidade de as três bolas serem vermelhas é dada pela multiplicação:

P X = 0 = 3 8 . 3 8 . 3 8 = 3 8 3

Passo 3

2º caso   Apenas uma bola preta → X = 1

As possibilidades para termos 1 bola preta são:

P V V ,   V V P ,   V P V

Vamos calcular a probabilidade de cada caso usando o mesmo raciocínio do passo 2 (tomando cuidado porque temos 5 bolas pretas de um total de 8, então a probabilidade de tirar uma preta é 5 8 ):

P P V V =   5 8 . 3 8 . 3 8

P V V P =   3 8 . 3 8 . 5 8

P V P V =   3 8 . 5 8 . 3 8

Somando as três probabilidades, temos:

P X = 1 = 3 × 3 8 2 × 5 8

Passo 4

3º caso: Duas bolas pretas → X = 2

Esse caso é super parecido com o 2º. As possibilidades são:

P P V ,   P V P ,   V P P

Calculando do mesmo jeito, temos:

P X = 2 = 3 × 3 8 × 5 8 2

Passo 5

4º caso: Três bolas pretas → X = 3

Esse caso é parecido com o 1º só que agora com as bolas pretas.

P X = 3 = 5 8 . 5 8 . 5 8 = 5 8 3

Passo 6

Montando a tabela de distribuição de X:

Resposta

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