Exercícios Resolvidos de Introdução à Variável Aleatória Discreta

Exercício 7 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15

Enunciado

UFPE; Sem campus; Estatística 1; 2ºEE; 2022.2; Questão 2

Uma pessoa está vendada e precisa desarmar uma bomba com fios, sendo fios azuis e fios vermelhos. Seja a variável aleatória que representa o número de fios azuis cortados nas duas primeiras tentativas e seja a variável aleatória que assume se o primeiro fio cortado é azul e se o primeiro fio cortado é vermelho.

(a) Obtenha a distribuição conjunta de .

(b) são independentes? Justifique.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Estatística. Dessa vez, vamos trabalhar com a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias.

Vamos começar analisando as nossas variáveis

a variável aleatória que representa o número de fios azuis cortados nas duas primeiras tentativas

Como temos fios azuis. Então pode assumir os seguintes valores:

Quanto a , a variável aleatória que assume se o primeiro fio cortado é azul e se o primeiro fio cortado é vermelho. Logo só assume os valores

Bem, então vamos começar calculando as probabilidades MARGINAIS de e

Passo 2

Bem, temos que

pois são dois fios vermelhos de um total de cinco;

pois são três fios azuis de um total de cinco fios.

Agora vamos obter a distribuição marginal de .

, pois para não cortar nenhum fio azul, na primeira tentativa precisa ser cortado o fio vermelho (probabilidade de ), e na segunda tentativa também precisa ser cortado o fio vermelho (probabilidade de ). Lembrando que após cortar um fio ele não pode ser conectado novamente

pois para no total ser cortado um fio azul temos duas opções: cortar o fio azul na primeira tentativa e vermelho na segunda () , ou cortar o fio vermelho na primeira tentativa e azul na segunda ().

, pois para cortar dois fios azuis, é preciso que seja azul na primeira tentativa () e também azul na segunda tentativa . Agora vamos calcular as probabilidades conjuntas.

Passo 3

Agora, vamos começar calculando as probabilidades conjuntas mais simples, são elas

Que é o evento onde o primeiro fio cortado é azul e não cortar nenhum fio azul. Mas pera aí, isso é impossível, se cortarmos o primeiro fio azul, então cortamos, pelo menos, um fio azul. Logo

E vamos analisar

É o evento onde cortamos dois fios azuis e o primeiro fio cortado é vermelho. Mas pera a e, é o evento que conta fios azuis cortados em tentativas. Logo se o primeiro fio cortado foi vermelho, não temos como cortar dois fios azuis, por conta disso

Agora, podemos juntar essas probabilidades que obtemos em uma tabela contendo as probabilidades marginais e as probabilidades conjuntas.

Agora, só precisamos preencher os espaços vazios, Como fazemos isso? Ora, usamos o fato que, nesse caso, a soma dos valores em uma linhas é igual ao valor da probabilidade da marginal de e a soma dos valores em uma coluna é igual a probabilidade marginal de .

Ou seja, temos que