Uma pessoa está vendada e precisa desarmar uma bomba com 5 fios, sendo 3 fios azuis e 2 fios vermelhos. Seja X a variável aleatória que representa o número de fios azuis cortados nas duas primeiras tentativas e seja Y a variável aleatória que assume 1 se o primeiro fio cortado é azul e 0 se o primeiro fio cortado é vermelho.

(a) Obtenha a distribuição conjunta de X   e   Y .

(b)   X   e   Y são independentes? Justifique.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Estatística. Dessa vez, vamos trabalhar com a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias.

Vamos começar analisando as nossas variáveis

X a variável aleatória que representa o número de fios azuis cortados nas duas primeiras tentativas

Como temos 3 fios azuis. Então X pode assumir os seguintes valores:

0,1   o u   2

Quanto a Y , Y a variável aleatória que assume 1 se o primeiro fio cortado é azul e 0 se o primeiro fio cortado é vermelho. Logo Y só assume os valores

0   o u   1

Bem, então vamos começar calculando as probabilidades MARGINAIS de X e Y

Passo 2

Bem, temos que

P   ( Y   =   0 )   =   2 / 5

pois são dois fios vermelhos de um total de cinco;

P   ( Y   =   1 )   =   3 / 5

pois são três fios azuis de um total de cinco fios.

Agora vamos obter a distribuição marginal de X .

P   ( X   =   0 )   =   2 / 5 × 1 / 4 = 1 / 10

, pois para não cortar nenhum fio azul, na primeira tentativa precisa ser cortado o fio vermelho (probabilidade de 2 / 5 ), e na segunda tentativa também precisa ser cortado o fio vermelho (probabilidade de 1 / 4 ). Lembrando que após cortar um fio ele não pode ser conectado novamente

P   ( X   =   1 )   =   3 / 5 × 2 / 4 + 2 / 5 × 3 / 4 = 3 / 5

pois para no total ser cortado um fio azul temos duas opções: cortar o fio azul na primeira tentativa e vermelho na segunda ( 3 / 5 × 2 / 4 ) , ou cortar o fio vermelho na primeira tentativa e azul na segunda ( 2 / 5 × 3 / 4 ).

P   ( X   =   2 )   =   3 / 5 × 2 / 4 = 3 / 10

, pois para cortar dois fios azuis, é preciso que seja azul na primeira tentativa ( 3 / 5 ) e também azul na segunda tentativa 2 / 4 . Agora vamos calcular as probabilidades conjuntas.

Passo 3

Agora, vamos começar calculando as probabilidades conjuntas mais simples, são elas

P   ( X   =   0 ,   Y   =   1 )

Que é o evento onde o primeiro fio cortado é azul e não cortar nenhum fio azul. Mas pera aí, isso é impossível, se cortarmos o primeiro fio azul, então cortamos, pelo menos, um fio azul. Logo

P   ( X   =   0 ,   Y   =   1 )   =   0

E vamos analisar

P   ( X   =   2 ,   Y   =   0 )

É o evento onde cortamos dois fios azuis e o primeiro fio cortado é vermelho. Mas pera a e, X é o evento que conta fios azuis cortados em 2 tentativas. Logo se o primeiro fio cortado foi vermelho, não temos como cortar dois fios azuis, por conta disso

P   ( X   =   2 ,   Y   =   0 )   =   0

Agora, podemos juntar essas probabilidades que obtemos em uma tabela contendo as probabilidades marginais e as probabilidades conjuntas.

Agora, só precisamos preencher os espaços vazios, Como fazemos isso? Ora, usamos o fato que, nesse caso, a soma dos valores em uma linhas é igual ao valor da probabilidade da marginal de Y e a soma dos valores em uma coluna é igual a probabilidade marginal de X .

Ou seja, temos que

P ( X = 2 ) = 0 + z

= 3 / 10

Logo

z = 3 / 10

P ( Y = 1 ) = 0 + w + z

= 3 / 5

Logo

P ( Y = 1 ) = 0 + w + 3 / 10 = 3 / 5

⇒ w = 3 / 10

P ( X = 1 ) = y + w

= 3 / 5

⇒ y = 3 / 10

E, por fim

P ( X = 0 ) = x + 0

= 1 / 10

⇒ x = 1 / 10

Dessa forma, a tabela completa fica

Passo 4

Agora que temos a nossa distribuição marginal. Podemos verificar se as variáveis X   e   Y são independentes. Para ser independentes precisamos que

P X Y ( x , y ) = P X ( x ) P Y ( y )

Ou seja, a probabilidade conjunta é dada pelo produto das probabilidades marginais.

Temos que:

P X Y ( 0,0 ) = 1 / 10

mas

P X ( 0 ) P Y ( 0 ) = 1 / 10 * 2 / 5

= 1 / 25

Logo

P X Y ( 0,0 ) ≠ P X ( 0 ) P Y ( 0 )

Então as variáveis não são independentes.

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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