PUCRIO, G3-2019.2
Considere a matriz:
Determine e para que represente na base canônica um espelhamento em um plano.
Passo 1
Belezera meus amores, esse tal espelhamento em um plano, é a famosa reflexão ortogonal. E essa transformação, possui algumas características bem interessantes, que a gente pode explorar afim de descobrir nossos valores e . Saca só, o primeiro detalhe é que toda matriz reflexão é uma matriz simétrica. Ela ser simétrica quer dizer que tudo que está acima da diagonal principal, é exatamente igual aquilo que está embaixo da diagonal principal. Logo:
Passo 2
O segundo detalhe malandro aqui, é que a matriz reflexão, sempre tem traço igual a . E o traço, é a soma dos elementos da diagonal principal, por exemplo nosso caso, o traço é:
E esse traço tem que ser igual a , logo:
Iradoso, então a gente também já descobriu o valor de :
Passo 3
Agora para encontrar o valor de ou de (afinal eles são iguais), podemos lembrar que toda matriz reflexão é ortogonal, isto é, as colunas da matriz são ortogonais entre si, fazendo com que o produto interno entre elas seja nulo. Então se por exemplo a gente pegar a primeira e a última coluna da matriz, vamos ter que:
Logo:
Portanto, nossa matriz é: