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Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

Ver Teoria
Exercício 9123456781011

Enunciado

UFPE, 3°EE-2019.2

Seja T : R 3 → R 3 cuja matriz na canônica de R 3 é:

T α α = 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

  1. Explique porque T é uma rotação no espaço.
  2. Determine o eixo dessa rotação.
  3. Determine o ângulo dessa rotação.

Passo 1

Belezoca de motoca galeris, na letra (a), queremos explicar o porquê que a matriz:

T α α = 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

É uma rotação no espaço.

Calma aí meu aprovado, porque para uma matriz representar uma rotação no espaço, ela precisa respeitar algumas condições, sendo α uma base ortonormal:

  • A matriz tem que ser ortogonal.
  • Determinante igual a 1, det ⁡ T α α = 1 .
  • Ter o 1 como autovalor.

Então, se a matriz de T α α respeitar essas condições, tá beleza, ela é uma matriz rotação.

Passo 2

Bora então testar a primeira condição. Pra matriz ser ortogonal, suas linhas precisam ser ortonormais entre si, logo testando o produto interno entre as linhas, temos que:

L 1 = 1 2 ,   - 1 2 , 1 2

L 2 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

L 3 = 1 2 , 1 2 , 1 2

L 1 ,   L 2 = 1 2 ,   - 1 2 , 1 2   ,   1 2 ,   0 ,   - 1 2 = 1 2 2 - 1 2 2 = 0

L 1 ,   L 2 = 1 2 ,   - 1 2 , 1 2   ,   1 2 , 1 2 , 1 2 = 1 4 - 1 2 + 1 4 = 0

L 2 ,   L 3 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2   ,   1 2 , 1 2 , 1 2 = 1 2 2 - 1 2 2 = 0

Iradoso, pelos nossos cálculos, vimos que todas as linhas quando operadas com produto interno entre si, resultaram em 0 , isso quer dizer que todas elas são ortogonais entre si. E agora pra verificarmos se elas são ortonormais, precisamos ver se o módulo das linhas são iguais a 1 , então temos que:

L 1 ,   L 1 = 1 2 ,   - 1 2 , 1 2   ,   1 2 ,   - 1 2 , 1 2   = 1 4 + 1 2 + 1 4 = 1

L 2 ,   L 2 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2   , 1 2 ,   0 ,   - 1 2 = 1 2 + 1 2 = 1

L 3 ,   L 3 =   1 2 , 1 2 , 1 2 ,   1 2 , 1 2 , 1 2 = 1 4 + 1 2 + 1 4 = 1

Isso quer dizer que suas linhas também são ortonormais, e em decorrência disso, (devido ao módulo ser igual a 1 ), a presença do autovalor 1 também é garantida.

Passo 3

Resta só a gente testar o determinante dessa matriz:

T α α = 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

E através da Regra de Sarrus, temos que:

det ⁡ T α α = 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2   1 / 2 = 0 + 1 4 + 1 4 - 0 - 1 4 - 1 4

det ⁡ T α α = 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 1

Portanto, a transformação T α α cumpriu todas as nossas condições e dessa forma, ela garante que é uma rotação.

Passo 4

Agora na letra (b), queremos descobrir o eixo dessa rotação. E aqui vai um bizu malandro pra vocês, sempre que temos uma rotação, o eixo dela sempre ficará fixo, imóvel, com o mesmo valor e posição SEMPRE, e essas característica faz com que dado o vetor do eixo u → :

T α α u → = u →

Ou seja, em outras palavras temos;

T α α u → = 1 u →

E é exatamente a definição de um autovalor, isso quer dizer que o eixo dessa rotação é o autovetor associado ao autovalor 1 .

Então se a gente encontrar o autovetor associado ao autovalor 1 , estaremos também encontrando nosso eixo de rotação.

Passo 5

Então é exatamente isso que vamos fazer, para encontrarmos o autovetor, podemos resolver o sistema:

T α α u → = u →

Dado que u → será nosso eixo de rotação x ,   y ,   z . E T α α é:

T α α = 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Logo:

1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 x y z = x y z

Realizando a multiplicação, chegamos no sistema:

1 2 x - 1 2 y + 1 2 z = x 1 2 x + 0 - 1 2 z = y 1 2 x + 1 2 y + 1 2 z = z  

E agora passando tudo que está do lado do igual para o outro, temos:

1 2 x - x - 1 2 y + 1 2 z = 0 1 2 x - y - 1 2 z = 0 1 2 x + 1 2 y + 1 2 z - z = 0  

- 1 2 x - 1 2 y + 1 2 z = 0 1 2 x - y - 1 2 z = 0 1 2 x + 1 2 y - 1 2 z = 0  

E agora, voltando esse sistema para a forma matricial, temos a nova matriz:

- 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2

E encontrando o conjunto solução dela, encontramos nosso eixo de rotação. Saca só, escalonando a matriz, temos:

- 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 ⇒   L 2 = L 2 + L 1   L 3 = L 3 + L 1 = - 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 0 - 2 0 0 0 0

Logo, da segunda linha, tiramos que:

- 2 y = 0

y = 0

E na primeira linha, temos:

- 1 2 x - 1 2 y + 1 2 z = 0

- 1 2 x - 1 2 0 + 1 2 z = 0

- 1 2 x + 1 2 z = 0

x = z

Portanto, o autovetor associado ao autovalor 1 , é:

u → = x ,   y ,   z = x ,   0 ,   x

u → = x 1 ,   0 ,   1 = 1 ,   0 ,   1

Resposta

  1. Explicação.
  2. 1 ,   0 ,   1 .

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