UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.1, Questão 15
A matriz associada à rotação em de um ângulo no sentido anti-horário em torno da origem é:
Lembrando que o produto de matrizes representa a composição de transformações lineares, a matriz é dada por:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos pensar em uma rotação feita várias vezes, se aplicada uma vez no vetor, ele rotaciona um ângulo , se aplicada vezes, ele vai rotacionar um ângulo
Conseguimos ver na imagem acima, na primeira, apliquei a transformação 1 vez e assim meu vetor rotacionou graus, já na segunda eu rotacionei de novo e assim ele ficou com graus do vetor rotacionado uma vez e do vetor inicial.
Dá então pra entender o que acontece quando rotaciono, 3, 4 ,5 ou até vezes! Meu ângulo passa a ser
Por isso, a matriz rotação vai ser:
Resposta
a
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Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
O vetor v = ( 3 ,2 ) experimenta sequencialmente:1) Uma reflexão em torno da reta y = x ;2) Um cisalhamento horizontal da fetor 2 ;3) Uma contração na direção O y de fator 1 3 ;4) Uma rotação de 90 °
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 30 ° no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Reflexão em torno da reta y = - x , seguida de uma dilatação de fator 2 na d
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 60 ° , seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y .