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Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

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Exercício 141234567891011121315

Enunciado

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Seja ( X , Y ) um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = 4 x y e - y ²   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1

  1. Calcule a densidade condicional de X dado que Y = y .
  2. Calcule a média e a variância condicional de X dado que Y = y .
  3. X e Y são independentes? Por que? Justifique.

Passo 1

a)

A fórmula da densidade condicional é:

f x y = f x , y f y y

E lembrando a fórmula da distribuição marginal:

f y y = ∫ - ∞ + ∞ f x , y d x

Vamos calcular a marginal primeiramente, indo de zero a um porque esse é o domínio de x :

f y y = ∫ 0 1 4 x y e - y ² d x = x 2 2 4 y e - y ² 0 1 = 2 y e - y ²

Então a condicional de X dado Y = y fica:

f x y = f x , y f y y = 4 x y e - y ² 2 y e - y ² = 2 x

Passo 2

b)

Lembrando a fórmula da média condicional:

E X Y = y = ∫ - ∞ + ∞ x f x y d x

Como 0 ≤ x ≤ 1 :

E X Y = y = ∫ 0 1 x ( 2 x ) d x = 2 x 3 3 0 1 = 2 3

E agora a variância condicional:

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2 = ∫ 0 1 x 2 2 x d x - 2 3 2

V a r X Y = y = 2 x 4 4 0 1 - 2 3 2 = 1 2 - 4 9 = 1 18

Passo 3

c)

Para provar que X e Y são independentes, podemos lembrar de que a seguinte relação tem que ser verdadeira para haver independência:

f x , y = f x x . f y ( y )

Nesse caso teríamos que calcular a marginal de X , multiplicar pela marginal de Y que já calculamos e ver se o resultado era igual a função de probabilidade conjunta f ( x , y ) .

Calculando a marginal de X :

f x x = ∫ 0 ∞ 4 x y e - y ² d x d y → ∫ - 2 x e u d u = - 2 x e u → - 2 x e - y 2 0 ∞ = 2 x

Agora verificamos a igualdade da relação:

4 x y e - y ² = 2 x 2 y e - y 2 →   V E R D A D E I R O

Então as v.a.’s são independentes!

Resposta

a)

2 x

b)

2 3

1 18

c)

São independentes.

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