Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

Ver Teoria
Exercício 121234567891011131415

Enunciado

TAREFA da aula – 7 – Probabilidade e Estatística (ENG1029) – 2020/2 – Questão 1

Seja ( X , Y ) variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = 6 x ,     0 < x < y < 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Pede-se:

a) Calcular o Coeficiente de Correlação ρ ( X ,   Y ) .

b) Calcular a média e a variância condicional de Y dado X = x .

Passo 1

a) Bora resolver esse primeiro item aqui!

E pra essa letra aqui, essa vai ser a fórmula mágica...

ρ X , Y = C o v X , Y σ x σ y

Onde a gente tem que:

C o v X , Y = E X , Y - E X ⋅ E ( Y )

σ x = D P X         e         σ y = D P ( Y )

As fórmulas dessas esperanças são:

E X , Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x y f x , y d x d y

E X = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x . f x , y d x d y

E Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ y . f ( x , y ) d x d y

Quanto as fórmulas do desvio padrão, temos que...

D P X = V a r ( X ) = E X 2 - [ E ( X ) ] ² → o n d e   E X 2 = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x ² . f ( x , y ) d x d y

D P Y = V a r ( Y ) = E Y 2 - [ E ( Y ) ] ² → o n d e   E Y 2 = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ y ² . f ( x , y ) d x d y

Eita! Mas quanta fórmula, né não!?

Socorro!!! Mas já foi, isso aí é tudo que precisamos para calcular o coeficiente de correlação.

Passo 2

Agora vamos raciocinar sobre esse intervalo de integração! A questão diz pra gente que:

0 < x < y < 1

E como vamos botar esses limites nos limites de integração das integrais que vamos fazer?

Reparem comigo que x sempre vai estar entre 0 e y , então:

0 < x < y

Esse aí é o intervalo de integração para a integral em d x .

E y ? Sabemos que ele vai até o 1 , mas onde ele começa? No x , certo?

E qual o menor valor possível que x pode ter? Ora bolas! É zero! Então esse também vai ser o menor valor possível que y pode assumir. Ou seja:

0 < y < 1

Passo 3

Agora vamos começar nossa série de integrais. Como nossos limites de integração em d x tem uma incógnita y , vamos sempre colocá-lo como a integral de dentro, para podermos integrar esse y que aparecer na função na segunda integral e obtermos um resultado todo numérico! Vamos fazer as integrais pra ficar mais claro...

Começando pelas esperanças:

E X = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x ⋅ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y x ⋅ 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x ² d x d y =

= ∫ 0 1 6 x 3 3 0 y d y = ∫ 0 1 2 y ³ d y = 2 y 4 4 0 1 = 1 2

E agora a de Y :

E Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ y ⋅ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y y ⋅ 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x y d x d y =

= ∫ 0 1 6 y x 2 2 0 y d y = ∫ 0 1 3 y x 2 0 y d y = ∫ 0 1 3 y 3 d y =

= 3 y 4 4 0 1 = 3 4

Agora as esperanças de X 2 e Y 2 :

E X 2 = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x ² ⋅ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y x ² ⋅ 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x ³ d x d y =

= ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x 4 4 0 y d y = ∫ 0 1 6 x 4 4 0 y d y = ∫ 0 1 3 x 4 2 0 y d y =

= ∫ 0 1 3 y 4 2 d y = 3 y 5 10 0 1 = 3 10

E Y ² = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x ² ⋅ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y y ² ⋅ 6 x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 y ² x d x d y =

= ∫ 0 1 6 y 2 x 2 2 0 y d y = ∫ 0 1 3 y 4 d y =

= 3 y 5 5 0 1 = 3 5

E agora a esperança conjunta:

E X , Y = ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x y f x , y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y x y 6 x   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 6 x ² y d x d y =

= ∫ 0 1 6 x 3 3 0 y y d y = ∫ 0 1 2 x 3 0 y y d y = ∫ 0 1 2 y 3 ⋅ y d y =

= ∫ 0 1 2 y 4 d y = 2 y 5 5 0 1 = 2 5

Passo 4

Agora, podemos calcular nossa covariância:

C o v X , Y = E X , Y - E X . E Y = 2 5 - 1 2 ⋅ 3 4 = 0,025

Passo 5

E depois, substituindo os valores pra calcular nossos desvios padrões:

σ x = E X 2 - [ E ( X ) ] ² = 3 10 - 1 2 2 = 0,05 = 0,2236

σ y = E Y 2 - [ E ( Y ) ] ² = 3 5 - 3 4 2 = 0,0375 = 0,1936

Passo 6

Juntando tudo que foi calculado pra achar o coeficiente:

ρ X , Y = C o v X , Y σ x . σ y = 0,025 0,05 0,0375 ≅ 0,5773

Passo 7

b) Agora, vamos resolver esse segundo item aqui...

Se liga! A fórmula da variância condicional é:

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - [ E Y X = x ] ²

Onde a esperança condicional de Y dado X = x é igual à:

E Y X = x = ∫ - ∞ + ∞ y f y x d y

E a função de distribuição condicional dentro dessa integral acima, pode ser obtida pela seguinte relação:

f y x = f x , y f x x

Só tá faltando a distribuição marginal aí no denominador, que é dada por:

f x x = ∫ - ∞ + ∞ f x , y d y

Surra de fórmula de novo nãooo!

Mas agora já acabou, juro!

Passo 8

Vamos começar pela marginal:

f x x = ∫ - ∞ + ∞ f x , y d y = ∫ 0 1 6 x d y = 6 x y 0 1 = 6 x

Então a distribuição condicional fica:

f y x = f x , y f x x = 6 x 6 x = 1

Passo 9

E em seguida, vamos calcular as esperanças condicionais:

E Y X = x = ∫ - ∞ + ∞ y f y x d y = ∫ 0 1 y d y = y 2 2 0 1 = 1 2

E Y 2 X = x = ∫ - ∞ + ∞ y 2 f y x d y = ∫ 0 1 y 2 d y = y 3 3 0 1 = 1 3

Opa! Se achamos a esperança, então já obtemos uma das coisas que pedem esse item, que é a média!

Falta só a variância condicional, que fica...

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2 = 1 3 - 1 2 2 = 1 12

Pronto! Finalizamos aqui!

Resposta

a) ρ X , Y ≅ 0,5773

b) E Y X = x = 1 2   e V a r Y X = x = 1 12

Exercícios de Livros Relacionados

Numa sala estão cinco crianças cujas idades são (em anos): 3, 3, 4, 5, 5. Escolhem-se três crianças ao acaso para formar uma trinca. X indica a idade da mais nova da turma, e Y à da mais velha. Calcul
Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidades f X ( x ) = x 18 ,0 ≤ x ≤ 6 Encontre a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y=2X+10Encontre o valo
Considere que os pesos de indivíduos sejam independentes e normalmente distribuídos, com uma média de 160 libras e um desvio padrão de 30 libras. Suponha que 25 pessoas se espremam em um elevador proj
Suponha que X seja uma variável aleatória com distribuição de probabilidade f X ( X ) = 1 4 para 1,2,3,4Encontre a distribuição de probabilidade de Y=2X+1
Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: f X ( x ) = e - x , x ≥ 0 Encontre a distribuição de probabilidades para Y=X^2Encontre a distribuição de probabilidades para Y=X