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Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

Ver Teoria
Exercício 412356789101112131415

Enunciado

Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:

f x , y = - 3 4 y + 2 x y       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 1

Dados:

Marginal de X : f x = x - 1 2

Marginal de Y : f y = 4 y - 3 2 y

Pede-se:

  1. Densidade condicional de Y dado X = x .
  2. Média condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .
  3. Variância condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .

Passo 1

(a)

Pra resolver cada um desses itens vai ser basicamente aplicar fórmula, então vamos lá.

Pra calcular a densidade condicional f Y X = x , vamos aplicar:

f Y X = x = f x , y f x

Os dois já são dados do problema, só fazer conta.

Passo 2

Vamos as contas...

= - 3 4 y + 2 x y x - 1 2

= - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1 2

= 2 × - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1

= - 6 4 y + 4 x y 2 x - 1  

= - 6 y + 16 x y 4 2 x - 1

= - 3 y + 8 x y 2 2 x - 1  

= - 3 y + 8 x y 4 x - 2

Tá bom por aí já.

Passo 3

(b)

Agora a fórmula é:

E Y X = x = ∫ 0 1 y . f ( Y | X = x )   d y

De 0 a 1 porque esses são os limites de y do enunciado.

Esse valor de dentro da integral foi o que a gente usou no item anterior.

= ∫ 0 1 y . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

= 1 4 x - 2 ∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y ² d y

Passo 4

Vamos integrar...

∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y 2 d y =

= - 3 × 2 5 y 5 2 + 8 x 3 y 3 0 1

= - 6 5 + 8 x 3

E Y X = x = - 6 5 + 8 x 3 4 x - 2

Não pode esquecer desse denominador aí que eu tinha tirado da integral. Vou simplificar.

= - 3 × 6 + 5 × 8 x 15 4 x - 2

= - 18 + 40 x 60 x - 30

= 20 x - 9 30 x - 15

Passo 5

Agora podemos calcular pra quando x = 1,5 .

E Y X = 1,5 = 20 × 1,5 - 9 30 × 1,5 - 15

= 0,7

Passo 6

(c)

A fórmula vai ser:

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2

Guarda isso.. vamos fazer parte por parte... o segundo valor ali que a gente precisa, a gente tem do item anterior. Vamos calcular então pela fórmula, o primeiro.

E Y 2 X = x = ∫ 0 1 y ² . f Y X = x d y

Bem parecido com o item anterior, só que é ao quadrado ali...

Fica assim:

= ∫ 0 1 y ² . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

Passo 7

Vamos resolver a integral...

= ∫ 0 1 y ² . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

= 1 4 x - 2 . ∫ 0 1 - 3 y 5 2 + 8 x y 3   d y

Vamos guardar essa parte de fora e focar na integral...

= - 3 × 2 7 y 7 2 + 8 x 4 y 4 0 1

= - 6 7 + 2 x

= - 6 + 14 x 7

Juntando tudo:

= - 6 + 14 x 7 4 x - 2

= - 6 + 14 x 28 x - 14

Simplificando por dois..

E Y 2 X = x = 7 x - 3 14 x - 7

Passo 8

Agora joga tudo naquela primeira fórmula lá:

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2

V a r Y X = x = 7 x - 3 14 x - 7 - 20 x - 9 30 x - 15 2

Vou fazer uma parada pros denominadores ficarem iguais... vou dividir toda a galera da primeira parte por 14 e geral da segunda por 30 .

= 1 2 x - 3 14 x - 1 2 - 2 3 x - 3 10 x - 1 2 2

Agora fica melhor de simplificar, porque fica mais fácil juntar as coisas..

= 1 2 x - 3 14 × x - 1 2 - 2 3 x - 3 10 2 x - 1 2 2

Abrindo tudo...

= 1 2 x 2 - 3 14 x - 1 4 x + 3 28 - 4 9 x 2 + 4 10 x - 9 100 x 2 - x + 1 4

= 0,056 x 2 - 0,064 x + 0,017 x 2 - x + 0,25

É isso aí.

Passo 9

Pra fechar só substituir x = 1,5 nesse monstro aí.

= 0,047

Resposta

a   - 3 y + 8 x y 4 x - 2

b   20 x - 9 30 x - 15       ,     0,7

c   0,056 x 2 - 0,064 x + 0,017 x 2 - x + 0,25     ,     0,047

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