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Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

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Exercício 512346789101112131415

Enunciado

Probabilidade Conjunta

Distribuição conjunta.

  1. Calcule a média condicional de X dado y = 1,5 .
  2. Calcule a variância condicional de X dado y = 1,5 .

Dados:

f x , y = x . y 3 + x 2   ,     o n d e   0 < x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 2

f x ( x ) = x 2 + 2 . x 3       ,     o n d e   0 < x ≤ 1

f y y = 1 3 + y 6       ,     o n d e   0 ≤ y ≤ 2

f Y X = x = 1 2 x + y 3 x + 1 3     ,     o n d e   x ∈ 0,1     e     y ∈ 0,2

f X Y = y = 3 x 2 + x y 1 + y 2     ,     o n d e   x ∈ 0,1     e     y ∈ 0,2

Passo 1

(a)

Para calcular a média condicional de X , dado Y = y , usamos:

E X Y = y = ∫ 0 1 x . f x y   d x

Como ele já deu essa densidade condicional aí, é só fazer a conta direto...

= ∫ 0 1 x . 6 x 2 + 2 x y 2 + y   d x

= 1 2 + y . ∫ 0 1 6 x 3 + 2 x 2 y   d x

= 1 2 + y . 6 x 4 4 + 2 y x 3 3 0 1

= 1 2 + y × 3 2 + 2 y 3

= 1 2 + y × 9 + 4 y 6

= 9 + 4 y 12 + 6 y

Passo 2

Pra calcular a média condicional com y = 1,5 é só substituir ali em cima por 1 , 5 .

Ficaria...

E X Y = 1,5 = 9 + 4 × 1 , 5 12 + 6 × 1,5

= 0,71

Passo 3

(b)

Pra calcular a variância condicional de X , dado Y = y , vamos usar primeiro a relação:

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2

Então primeiro temos que calcular E X 2 Y = y .

E X 2 Y = y = ∫ 0 1 x ² . f x y   d x

= ∫ 0 1 x ² . 6 x 2 + 2 x y 2 + y   d x

= 1 2 + y . ∫ 0 1 6 x 4 + 2 x 3 y   d x

= 1 2 + y . 6 x 5 5 + 2 y x 4 4 0 1

= 1 2 + y × 6 5 + 2 y 4

= 1 2 + y × 24 + 10 y 20

= 24 + 10 y 40 + 20 y

Dividindo tudo por 2.

= 12 + 5 y 20 + 10 y

Passo 4

Substituindo os valores que a gente agora já conhece.

V a r X Y = y = 12 + 5 y 20 + 10 y - 9 + 4 y 12 + 6 y 2

E pra saber quando y = 1,5 , só substituir.

V a r X Y = 1,5 = 12 + 5 × 1,5 20 + 10 × 1,5 - 9 + 4 × 15 12 + 6 × 15 2

Joga na calculadora aí e confere comigo se não dá...

≅ 0,047

Resposta

a ≅ 0,71

b ≅ 0,047

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