c) Suponha que e sejam variáveis contínuas, prove que .
Passo 1
c)
Lembrando que a gente calcula a esperança de uma variável fazendo:
Então a esperança condicional ficaria:
Porque agora nossa probabilidade é condiconal!
E você concorda comigo que isso aí que escrevemos dentro do somatório nada mais é que uma função da variável aleatória ? Porque vamos ter várias probabilidades condicionais ali dentro de “ dado ...”.
E aí a partir disso podemos dizer que a própria esperança condicional vai ser outra variável aleatória, já que vamos ter valores em função de uma v.a. dentro dela.
Passo 2
E agora vai rolar um inception de esperança! Tirando a esperança dos dois lados da equação, se liga no que acontece:
É como se fosse uma v.a. qualquer, que entra na nossa esperança como multiplicando a probabilidade referente a ele, que agora é em função de !
Substituindo pelo somatório visto no passo 1:
Passo 3
E lembrando da fórmula da probabilidade condicional:
Vamos escrever a condicional dentro do somatório de acordo com a fórmula da condicional:
Cortando as e separando os somatórios:
Passo 4
Opa, mas o somatório de vai ser , certo? Já que vamos somar todas as probabilidades para todos os que existem, vamos obter a probabilidade total de :
E olha aí no que chegamos! Na fórmula clássica pra calcular a esperança de , ou seja: