Exercícios Resolvidos de Método dos Parâmetros Concentrados

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Enunciado

(Adaptada) Uma junção termopar, que pode ser aproximada como uma esfera, deve ser utilizada para a medida de temperatura em uma corrente de gás. O coeficiente de convecção entre a superfície da junção e o gás é h = 400   W . m - 2 . K - 1 e as propriedades termofísicas da junção são k = 20   W . m - 1 . K - 1 , c p = 400   J . k g - 1 . K - 1 e ρ = 8500   k g . m - 3 .

a Determine o diâmetro da junção necessário para que o termopar tenha uma constante de tempo de 1   s .

b Se a junção encontra-se a 25 o C e é colocada em uma corrente de gás a 200 o C , quanto tempo levará para que a junção alcance 199 o C ?

c Considere agora que também há troca de calor por radiação entre as paredes de um duto que circunda a corrente do gás. Se as paredes do duto encontram-se a 400 o C e a emissividade do termopar é 0,9 , calcule a temperatura do regime estacionário e determine a equação diferencial proveniente do balanço de energia transiente.

Passo 1

a Determine o diâmetro da junção necessário para que o termopar tenha uma constante de tempo de 1   s .

Como a gente não sabe o valor diâmetro D , a gente não consegue calcular o número de Biot, pra determinar se o Método dos Parâmetros Concentrados é válido.

Mas a gente pode tentar usar o método para encontrar esse diâmetro e depois verificar se, com esse diâmetro encontrado, o método é válido!

Sabemos que a constante de tempo ( τ ) é dada por:

τ = ρ . V . c p h . A

Sendo assim, para a esfera:

τ = ρ . π 6 . D 3 . c p h . π . D 2

τ = ρ . D . c p 6 . h

Isolando o diâmetro:

D = 6 . h . τ ρ . c p

Subsituindo os valores do enunciado:

D = 6 . 400   W . m - 2 . K - 1 . 1   s 8500   k g . m - 3 . 400   J . k g - 1 . K - 1

D = 0,71   m m  

Passo 2

Agora que a gente tem o diâmetro, bora calcular o número de Biot, pra ver se é válido usar o Método dos Parâmetros Concentrados:

B i = h . L c k

O comprimento característico ( L c ) pela razão entre volume e área da esfera é dada por:

L c = V e s f A e s f             →             L c = π 6 . D 3 π . D 2           →             L c = D 6

Pela distância que corresponde a maior diferença de temperatura, a gente tem que:

L c = D 2

Como o B i fica menor usando a primeira opção, bora usar ele, porque assim fica mais fácil da aproximação do método dos parâmetros concentrados valer ^^

Assim:

B i = h . D 6 . k             →             B i = 400   W . m - 2 . K - 1 . 0,00071   m 6 . 20   W . m - 1 . K - 1             →             B i = 0,0024

Como B i < 0,1 , tá tudo bem a gente usar o Método dos Parâmetros Concentrados!

Passo 3

b Se a junção encontra-se a 25 o C e é colocada em uma corrente de gás a 200 o C , quanto tempo levará para que a junção alcance 199 o C ?

Agora a gente está interessado em encontrar o tempo, logo é o caso A! A gente sabe que o tempo é dado por:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ

Podemos escrever de outra forma:

t = ρ . D . c p 6 . h . ln ⁡ θ i θ

Substituindo os valores do enunciado:

t = 8500   k g . m - 3 . 0,00071   m .   400   J . k g - 1 . K - 1 6 . 400   W . m - 2 . K - 1 . ln ⁡ 298 - 473   K 472 - 473   K

t = 5,19   s  

Passo 4

c Considere agora que também há troca de calor por radiação entre as paredes de um duto que circunda a corrente do gás. Se as paredes do duto encontram-se a 400 o C e a emissividade do termopar é 0,9 , calcule a temperatura do regime estacionário e determine a equação diferencial proveniente do balanço de energia transiente.

Você poderia imaginar que esse é o caso B, mas não é! Porque tudo aquilo que vimos é para as situações que só tem convecção! E aqui a gente também tem radiação agora!

Para resolver o estado estacionário é igual ao que fazíamos nos capítulos anteriores. Pelo balanço de energia, a gente fica com:

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

E ˙ e - E ˙ s + 0 = 0

E ˙ e = E ˙ s

Sendo assim, a gente fica com:

ε . σ . A . T v i z 4 - T 4 = h . A . T - T ∞

ε . σ . T v i z 4 - ε . σ . T 4 = h . T - h . T ∞

ε . σ . T 4 + h . T - h . T ∞ - ε . σ . T v i z 4 = 0

T 4 + h ε . σ . T - h . T ∞ ε . σ - T v i z 4 = 0

Pelos dados do enunciado:

T 4 + 400   W . m - 2 . K - 1 . T 0,9 . 5,67   x   10 - 8   W . m - 2 . K - 4 - 400   W . m - 2 . K - 1 . 473   K 0,9 . 5,67   x   10 - 8   W . m - 2 . K - 4 - 673   K 4 = 0

T 4 + 7,839   x   10 9 . T - 3,502   X   10 12 = 0

A solução para essa equação é:

T = 491,7   K  

Passo 5

Considerando regime transiente, a gente fica com o seguinte balanço:

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

E ˙ e - E ˙ s + 0 = E ˙ a

E ˙ e - E ˙ s = E ˙ a

Sendo assim, a gente fica com:

ε . σ . A . T v i z 4 - T 4 - h . A . T - T ∞ = ρ . V . c p . d T d t  

Essa equação pode ser resolvida numericamente, mas esse não é nosso foco aqui!

Resposta

  1. D = 0,71   m m
  2. t = 5,19   s
  3. A temperatura no estado estacionário vale T = 491,7   K e a equação do balanço transiente é dada abaixo:

ε . σ . A . T v i z 4 - T 4 - h . A . T - T ∞ = ρ . V . c p . d T d t

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