(Adaptada) Uma junção termopar, que pode ser aproximada como uma esfera, deve ser utilizada para a medida de temperatura em uma corrente de gás. O coeficiente de convecção entre a superfície da junção e o gás é e as propriedades termofísicas da junção são , e .
Determine o diâmetro da junção necessário para que o termopar tenha uma constante de tempo de .
Se a junção encontra-se a e é colocada em uma corrente de gás a , quanto tempo levará para que a junção alcance ?
Considere agora que também há troca de calor por radiação entre as paredes de um duto que circunda a corrente do gás. Se as paredes do duto encontram-se a e a emissividade do termopar é , calcule a temperatura do regime estacionário e determine a equação diferencial proveniente do balanço de energia transiente.
Passo 1
Determine o diâmetro da junção necessário para que o termopar tenha uma constante de tempo de .
Como a gente não sabe o valor diâmetro , a gente não consegue calcular o número de Biot, pra determinar se o Método dos Parâmetros Concentrados é válido.
Mas a gente pode tentar usar o método para encontrar esse diâmetro e depois verificar se, com esse diâmetro encontrado, o método é válido!
Sabemos que a constante de tempo () é dada por:
Sendo assim, para a esfera:
Isolando o diâmetro:
Subsituindo os valores do enunciado:
Passo 2
Agora que a gente tem o diâmetro, bora calcular o número de Biot, pra ver se é válido usar o Método dos Parâmetros Concentrados:
O comprimento característico () pela razão entre volume e área da esfera é dada por:
Pela distância que corresponde a maior diferença de temperatura, a gente tem que:
Como o fica menor usando a primeira opção, bora usar ele, porque assim fica mais fácil da aproximação do método dos parâmetros concentrados valer ^^
Assim:
Como , tá tudo bem a gente usar o Método dos Parâmetros Concentrados!
Passo 3
Se a junção encontra-se a e é colocada em uma corrente de gás a , quanto tempo levará para que a junção alcance ?
Agora a gente está interessado em encontrar o tempo, logo é o caso A! A gente sabe que o tempo é dado por:
Podemos escrever de outra forma:
Substituindo os valores do enunciado:
Passo 4
Considere agora que também há troca de calor por radiação entre as paredes de um duto que circunda a corrente do gás. Se as paredes do duto encontram-se a e a emissividade do termopar é , calcule a temperatura do regime estacionário e determine a equação diferencial proveniente do balanço de energia transiente.
Você poderia imaginar que esse é o caso B, mas não é! Porque tudo aquilo que vimos é para as situações que só tem convecção! E aqui a gente também tem radiação agora!
Para resolver o estado estacionário é igual ao que fazíamos nos capítulos anteriores. Pelo balanço de energia, a gente fica com:
Sendo assim, a gente fica com:
Pelos dados do enunciado:
A solução para essa equação é:
Passo 5
Considerando regime transiente, a gente fica com o seguinte balanço:
Sendo assim, a gente fica com:
Essa equação pode ser resolvida numericamente, mas esse não é nosso foco aqui!
Resposta
- A temperatura no estado estacionário vale e a equação do balanço transiente é dada abaixo: