Exercícios Resolvidos de Método dos Parâmetros Concentrados

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Enunciado

Rejeitos radioativos são colocados em um recipiente esférico de parede delgada. Os rejeitos geram energia térmica por unidade de volume q 0 . O raio do recipiente é r 0 .

Assumindo que o recipiente está inicialmente a uma temperatura T i e sabendo que esse é colocado em um líquido inerte que se encontra a T ∞ e que fornece um coeficiente convectivo h uniforme.

a Determine o comportamento da temperatura T t com o tempo no interior do recipiente.

b Qual a temperatura do estado estacionário?

c Determine a quantidade de calor trocada com o meio após atingir o estado estacionário.

Para todos os casos assuma modelo de parâmetros concentrados.

Expresse os resultados em termos de q 0 , r 0 , T ∞ , h , k (condutividade térmica do rejeito), ρ (massa específica) e c p (capacidade térmica do rejeito).

Passo 1

a Determine o comportamento da temperatura T t com o tempo no interior do recipiente.

Utilizando o método dos parâmetros concentrados, fazendo o balando de energia no recipiente, teremos o seguinte:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

Como não há energia entrando no recipiente:

- E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

- h . A . T t - T ∞ + q 0 . V = ρ . V . c p . d T ( t ) d t

Repare que, como temos um termo de geração de energia, não podemos usar a solução já dada pelo método dos parâmetros concentrados. Ou seja, teremos que resolver essa equação diferencial pra encontrar a temperatura em função do tempo.

Passo 2

Essa equação diferencial é separável. Assim, vamos arrumá-la separando a derivada do resto da equação.

- h . A . T t - T ∞ + q 0 . V = ρ . V . c p . d T ( t ) d t

d T ( t ) d t = q 0 . V ρ . V . c p - h . A . T t - T ∞ ρ . V . c p

Onde V corresponde ao volume da esfera, e A corresponde à área superficial. Assim, a razão A / V será:

A V = 4 π r 0 2 4 π r 0 3 3 = 3 r 0

Assim:

d T ( t ) d t = q 0 ρ . c p - 3 . h . T t - T ∞ ρ . c p . r 0

Separando a temperatura do tempo, teremos:

d T ( t ) d t = 1 ρ . c p q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞

d T t q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞ = d t ρ . c p

Integrando dos dois lados:

∫ T i T t d T t q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞ = ∫ 0 t d t ρ . c p

Passo 3

O lado direito pode ser integrado usando o método da substituição, onde:

u = q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞

d u = - 3 . h r 0 . d T → d T = - r 0 3 h . d u

Logo:

- r 0 3 h . ∫ d u u = t ρ . c p 0 t

- r 0 3 h . ln ⁡ u = t ρ . c p

- r 0 3 h . ln ⁡ q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞ T i T t = t ρ . c p

Agora é só arrumar a bagunça:

ln ⁡ q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞ q 0 - 3 . h r 0 T i - T ∞ = - 3 h ρ c p r 0 t

q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞ q 0 - 3 . h r 0 T i - T ∞ = exp ⁡ - 3 h ρ c p r 0 t

q 0 - 3 . h r 0 T t - T ∞ = q 0 - 3 . h r 0 T i - T ∞ . exp ⁡ - 3 h ρ c p r 0 t

Passo 4

b Qual a temperatura do estado estacionário?

A temperatura do estado estacionário T f é dada para t → ∞ . Assim:

T f = lim t → ∞ ⁡ T t = T ∞ + q 0 . r 0 3 . h - q 0 . r 0 3 . h - T i + T ∞ . exp ⁡ - 3 h ρ c p r 0 × ∞

T f = T ∞ + q 0 . r 0 3 . h - q 0 . r 0 3 . h - T i + T ∞ × 0

Passo 5

c Determine a quantidade de calor trocada com o meio após atingir o estado estacionário.

A quantidade de calor trocada com o meio é dada por:

q = h . A . T f - T ∞

Substituindo a expressão que encontramos na letra b :

q = h . A . T ∞ + q 0 . r 0 3 . h - T ∞

Onde A = 4 π r 0 2 .

q = h . 4 π r 0 2 . q 0 . r 0 3 . h

Ou seja, no estado estacionário, a quantidade de calor trocada com o meio será igual à quantidade de calor gerada pelo rejeito radioativo.

Resposta

a

T t = T ∞ + q 0 . r 0 3 . h - q 0 . r 0 3 . h - T i + T ∞ . exp ⁡ - 3 h ρ c p r 0 t

b

T f = T ∞ + q 0 . r 0 3 . h

c

q = 4 π r 0 3 3 . q 0

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