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Exercícios Resolvidos de Método dos Parâmetros Concentrados

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Exercício 2134567891011

Enunciado

Considere um paralelepípedo de cobre ( k = 386   W / m K , ρ = 8954   k g / m 3 e c p = 383   J / k g ° C ) com lados 2   c m × 2   c m × 3   c m , inicialmente na temperatura uniforme de 300 ° C .

Este bloco de cobre é imerso em um fluido a 25 ° C . O coeficiente de transferência de calor entre o bloco e o fluido é de 80   W / m 2 ° C . Calcule:

i Tempo necessário para que o ponto central do bloco seja resfriado até 50 ° C .

i i Taxa inicial de variação de temperatura ° C / s .

Passo 1

i Tempo necessário para que o ponto central do bloco seja resfriado até 50 ° C .

Antes de qualquer coisa, precisamos calcular o número de Biot pra decidir qual o método mais adequado pra resolver o problema.

B i = h . L c k

Nesse caso, calcular o comprimento característico da seguinte forma:

L c = V A = 0,03 × 0,02 × 0,02 4 × 0,03 × 0,02 + 2 × 0,02 × 0,02 → L c = 3,75 × 10 - 3 m

Dessa forma:

B i = 80 × 3,75 × 10 - 3 386 → B i = 7,8 × 10 - 4

Como o número de Biot é menor que 0,1, podemos usar o método dos parâmetros concentrados.

Passo 2

De acordo com o método dos parâmetros concentrados, o tempo necessário para que o bloco resfrie até 50 ° C será dado por:

t = ρ . V . c p h . A . ln ⁡ θ i θ t

Onde V / A = L c = 3,75 × 10 - 3   m . Assim, substituindo os valores:

t = 8954 × 3,75 × 10 - 3 × 383 80 . ln ⁡ 300 - 25 50 - 25

Passo 3

i i Taxa inicial de variação de temperatura ° C / s .

A temperatura varia com o tempo de acordo com a expressão abaixo:

θ ( t ) θ i = exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

T t - T ∞ = T i - T ∞ . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

T t = T ∞ + T i - T ∞ . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Derivando a expressão acima em relação ao tempo:

d T t d t = - h . A ρ . V . c p . T i - T ∞ . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Como queremos a taxa inicial de variação de temperatura, t = 0 . Assim:

d T 0 d t = - h . A ρ . V . c p . T i - T ∞

Substituindo os valores:

d T 0 d t = - 80 8954 × 3,75 × 10 - 3 × 383 × 300 - 25

Resposta

i t = 385,47   s

i i d T 0 / d t = - 1,71   ° C / s

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