Exercícios Resolvidos de Método dos Parâmetros Concentrados

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Enunciado

Um armazenamento de energia térmica consiste em um grande canal retangular no qual é bem isolado em sua superfície externa e engloba camadas alternadas de material de armazenagem e canal de escoamento.

Cada camada do material de armazenamento é uma placa de alumínio ( ρ = 2702   k g . m - 3 ,   c p = 1033   J . k g - 1 . K - 1   e   k = 231   W . m - 1 . K - 1 ) de largura W =   0,05   m , a qual está a uma temperatura de 25 o C . Considere condições para as quais a unidade de armazenamento é carregada pela passagem de um gás quente através dos canais. A temperatura do gás e o coeficiente de convecção são considerados valores constantes de T ∞ = 600 o C e h = 100   W . m - 2 . K - 1 em todo o canal.

a Quanto tempo irá levar para atingir 75 % da energia armazenada máxima possível?

b Qual será a temperatura do alumínio nesse instante?

Passo 1

a Quanto tempo irá levar para atingir 75 % da energia armazenada máxima possível?

A gente pode encarar o problema como sendo várias paredes planas, tais que:

Dessa maneira, a gente precisa calcular o número de Biot do bloco pra verificar a validade da aproximação do método dos parâmetros concentrados ( B i < 0,1 ).

Para o caso das paredes planas, o comprimento característico ( L c ) é exatamente a metade da largura da parede ( W / 2 ), então:

B i = h . L c k             →             B i = h . W 2 . k

Substituindo os valores:

B i = 100   W . m - 2 . K - 1 . 0,05   m 2 . 231   W . m - 1 . K - 1

B i = 0,011

Como B i < 0,1 , a gente pode usar o método dos parâmetros concentrados!

Passo 2

O enunciado nos pede qual é o tempo ( t x ) pra que a quantidade de energia armazenada atinja 75 % da quantidade máxima de calor ( Q m á x ). A gente pode escrever da seguinte maneira:

Q t x = 0,75 . Q m á x

A gente sabe que a quantidade de calor na situação do corpo sob convecção somente depende do tempo e é dada por:

Q t = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - t τ

Vamos entender então o que acontece em diferentes momentos:

No instante inicial, a transferência de calor ainda não começou, logo a quantidade de calor trocado será igual a zero, como podemos ver substituindo t = 0 na equação:

Q 0 = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - 0 τ =   - h . A . τ . θ i . 1 - 1 = 0

Daí pra frente, quanto maior o valor de t , menor será o valor da exponencial e consequentemente maior será a quantidade de energia trocada. Sendo assim, o máximo de calor trocado é atingido quando o tempo tender ao infinito:

Q ∞ = - h . A . τ . θ i . 1 - exp ⁡ - ∞ τ =   - h . A . τ . θ i . 1 - 0 = - h . A . τ . θ i = Q m á x

Substituindo na equação:

Q t x Q m á x = 0,75

Q t x Q m á x = 1 - exp ⁡ - t x τ = 0,75

Assim:

exp ⁡ - t x τ = 0,25

t x = - τ . ln ⁡ 0,25  

Em que:

τ = ρ . V . c p h . A             →             τ = ρ . L c . c p h           →             τ = ρ . W . c p 2 . h

τ = 2702   k g . m - 3 . 0,05   m . 1033   J . k g - 1 . K - 1 2 . 100   W . m - 2 . K - 1

τ = 697,8   s

Logo:

t x = - 697,8   s . ln ⁡ 0,25

t x = 967,4   s

Isso significa aproximadamente 16   m i n .

Passo 3

b Qual será a temperatura do alumínio nesse instante?

Agora estamos num problema do caso B, em que já sabemos o tempo ( t x ) e precisamos determinar a temperatura do corpo! Sendo assim, a gente tem que:

θ ( t x ) θ i = exp ⁡ - t x τ

Substituindo os valores que encontramos e já sabemos do enunciado:

θ t x = 298 - 873   K . exp ⁡ - 967,4   s ( 697,8   s )

Logo:

θ t x = - 143,7   K

E, lembrando da definição da temperatura de excesso, a temperatura da esfera nesse instante será:

T t x = 873   K - 168,7   K

T t x = 704 , 3   K

Resposta

a t x = 967,4   s

b T t x = 704 , 3   K

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