Exercícios Resolvidos de Momentos em Três Dimensões

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Enunciado

Determine o momento da força de 400   N em relação ao ponto A .

  1. Usando a relação do produto vetorial.
  2. Projetando a força em seus componentes e achando os seus respectivos momentos.

Passo 1

De forma vetorial:

Primeiro, vamos definir o vetor r → A B .

A = 0,1 ; 0 ; 0,125   m

B = 0,050 ; 0,1 ; 0   m

r → A B = B - A = - 0,05 ; 0,1 ; - 0,125   m

Passo 2

Agora vamos definir a força:

F → = 400 cos ⁡ 60 ° j ^ - 400 s e n 60 ° k ^   N

F → = 200 j ^ - 346,4 k ^   N

Feito isso, podemos calcular o produto vetorial:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ - 0,05 0,1 - 0,125 0 200 - 346,4

Assim:

M → = 0,1 - 0,125 200 - 346,4 i ^ - - 0,05 - 0,125 0 - 346,4 j ^ + - 0,05 0,1 0 200 k ^

M → = - 9,64 i ^ - 17.32 j ^ - 10 k ^   N ⋅ m

Passo 3

Para fazer o próximo item, vamos primeiro calcular as componentes da força:

F x = 0

F y = 400 cos ⁡ 60 ° = 200   N

F z = - 400 s e n 60 ° = - 346,4   N

Passo 4

Vamos analisar cada eixo e ver quais forças exercem momento em cada um desses:

Eixo x :

A força de 400 s e n ( 60 ° ) faz um momento no sentido horário, já a outra componente um momento no sentido anti-horário. Tomando o sentido anti-horário como positivo, vamos ter que:

M x = 400 cos ⁡ 60 ° 0,125 - 400   s e n   60 ° 0,1 = - 9,64   N ⋅ m

Escrevendo vetorialmente:

M → x = - 9,64 i ^   N ⋅ m

Vamos checar se esse sentido é o certo? Bom, o momento é horário, já que é negativo:

Pela regra da mão direita, o sentido é realmente negativo em x .   Então escrevemos certo!!!

Passo 5

Eixo y :

Nesse caso, só a componente vertical realiza momento, pois a componente horizontal é paralela ao eixo y . Assim:

M y = 400 s e n   60 ° 0,05 = 17,32   N ⋅ m

E o sentido? Bom, dá para ver que o sentido de rotação, nesse caso, é o horário. Sendo assim, usando a regra da mão direita:

Assim, o sentido do vetor momento é contrário ao sentido positivo do eixo y , então:

M → y = - 17,32 j ^   N ⋅ m

Passo 6

Eixo z :

Em relação ao eixo z , só a força horizontal exerce momento, pois a força vertical é paralela ao eixo z . O momento é nesse sentido aqui:

Assim:

M Z = 400 cos ⁡ 60 ° 0,05 = 10   N ⋅ m

Para ver o sentido, vamos usar a regra da mão direita:

Assim, o vetor momento aponta no sentido negativo de z . Então:

M → z = - 10 k ^   N ⋅ m

E por fim:

M → = M → x + M → y + M → z

M → = - 9,64 i ^ - 17.32 j ^ - 10 k ^   N ⋅ m

Resposta

M → = - 9,64 i ^ - 17.32 j ^ - 10 k ^   N ⋅ m

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