Exercícios Resolvidos de Momentos em Três Dimensões

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Enunciado

O tubo em ângulo reto O A B é visto abaixo. Substitua a força trativa de 750   N que o cabo exerce no ponto B por um sistema força binário no ponto O .

Passo 1

Bom, sabemos que a força atua no ponto B através da reta que une B C .

Além disso, como a força é trativa, o vetor da força terá o sentido indo de B para C .

Como já fizemos antes, o vetor que representa B C é dado por:

B C → = C - B

Observando a figura, vemos que:

C = x c ,   y c ,   z c = 0 ; 0.7 ; 1.2   m

Se liga: os eixos não estão colocados nos lugares de costume.

Já o ponto B é um pouquinho mais complicado pois vamos ter que trabalhar com seno e cosseno. Dá uma olhada: o comprimento B A faz um ângulo de 30 ° com a horizontal.

Sendo que a coordenada x disso daí é x = 1,6 m . Então:

B = 1.6 , - 0.8 s e n 30 ° , 0.8 cos ⁡ 30 ° = 1.6 , - 0.4,0.69   m

Passo 2

Assim:

B C = C - B = 0,0.7,1.2 - 1.6 , - 0.4,0.69 = ( - 1.6,1.1,0.51 )

Passo 3

Então:

n → B C = 1 ( - 1.6 2 + 1.1 2 + 0.51 2 . - 1.6,1.1,0.51

n → B C = ( - 0.80,0.55,0.25 )

Passo 4

Assim, a força é dada por:

F → = F n → B C = 750 - 0.80,0.55,0.25 = ( - 600,412.5,187.5 )

Passo 5

Vamos calcular o momento que essa força exerce em O . Usando a distância O C :

r → O C = C - O = 0,0.7,1.2 - 0,0 , 0 = 0,0.7,1.2

Assim, o momento será dado por:

M → = r → O C × F → = i ^ j ^ k ^ 0 0.7 1.2 - 600 412.5 187.5

M → = i ^ 0.7 1.2 412.5 187.5 - j ^ 0 1.2 - 600 187.5 + k ^ 0 0.7 - 600 412.5

M → = - 363.75 i ^ - 720 j ^ + 419 k ^   N ⋅ m

Passo 6

Beleza, calculando a força resultante e o momento da força em relação a O , você já tem o binário.

O sistema força binário é formado por:

F → = - 600,412.5,187.5   N

M → = - 363.75 i ^ - 720 j ^ + 419 k ^   N ⋅ m

Resposta

F → = - 600 i ^ + 412.5 j ^ + 187.5 k ^   N

M → = - 363.75 i ^ - 720 j ^ + 419 k ^   N ⋅ m

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