Exercícios Resolvidos de Momentos em Três Dimensões

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Enunciado

Uma força vertical de 5   N é aplicada à manete do mecanismo de abertura de janelas quando a manivela B C está na horizontal. Determine a )   o momento da força em relação ao ponto A e b )   em relação à linha A B .

Passo 1

Vamos primeiro calcular o momento em relação ao ponto A . Para isso, como de costume, vamos desenhar o sistema sem esses corpos:

Perceba uma coisa: o trecho B C é paralelo ao eixo y e aponta para dentro da tela. Note também que a força F → é paralela ao eixo z e aponta no sentido negativo do mesmo:

F → = - 5 k ^

Vamos escrever o vetor r → A D .

Mas esse trecho é todo torto, concorda? De A até B ele é de um jeito, de B até C de outro e de C até D de outro.

Podemos, então, escrever r → A D como uma soma de três vetores posição:

r → A D = r → A B + r → B C + r → C D

Para encontrar as componentes de r → A B , apenas use cosseno e o seno pra calcular as componentes x e z :

r → A B = 0,05 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,05 s e n 30 ° k ^   m  

O trecho r → B C , pelo contrário, só tem uma componente positiva que aponta na direção positiva de y :

r → B C = 0,0 75 j ^   m

E o trecho C D você faz que nem o A B . Esse trecho possui a mesma inclinação que o trecho A B :

r → C D = 0,0 25 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,0 25 s e n 30 ° k ^   m

Somando os vetores:

r → A D = r → A B + r → B C + r → C D

r → A D = ( 0,05 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,05 s e n   30 ° k ^ ) + ( 0,0 75 j ^ ) + ( 0,0 25 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,0 25 s e n   30 ° k ^ )

Somando as componentes:

r → A D = 75 cos ⁡ 30 ° i ^ + 75 j ^ + 75 s e n 30 ° k ^  

r → A D = 0,065 i ^ + 0,075 j ^ + 0,0375 k ^   m

Passo 2

Tudo pronto para calcularmos o nosso momento:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0,065 0,075 0,0375 0 0 - 5

Expandindo:

M → = 0,075 0,0375 0 - 5 i ^ - 0,065 0,0375 0 - 5 j ^ + 0,065 0,075 0 0 k ^

Perceba que o último determinante dá zero. Calculando os outros:

M → = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^   N ⋅ m

Passo 3

Show de bola. Agora queremos saber o valor desse momento em relação à linha A B .

O que isso significa? Ah, isso nada mais é do que a projeção do momento naquela direção: a direção A B .

Assim, calcularemos:

M → A B = M → ⋅ n → A B n → A B

Ou seja, o produto escalar entre o momento e o vetor normalizado da direção A B , que nos dá o módulo da projeção, vezes o próprio vetor n → A B   .

No final das contas, isso dada mais é do que o nosso produto:

M → A B = r → × F → ⋅ n → A B n → A B

Então, vamos ter que calcular esse vetor n → A B .

Passo 4

Não se preocupe, é fácil achar esse n → A B . Isso porque já calculamos antes o r → A B , então é só normalizar ele:

r → A B = 0,05 cos ⁡ 30 ° i ^ + 0,05 s e n   30 ° k ^    

r → A B = 0,0433 i ^ + 0,025 k ^   m

O módulo deste vetor é:

r → A B = ( 0,0433 ) 2 + ( 0,025 ) 2

r → A B = 0,05   m

Então, o vetor unitário vai ser:

n → A B = r → A B r → A B         →           n → A B =   1 0,05 . 0,0433 i ^ + 0,025 k ^

n → A B = 0,866 i ^ + 0,5 k ^

Passo 5

Show de bola! Já sabemos que M → = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^   N ⋅ m , então:

M A B = M → ⋅ n → A B

M A B = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^ ⋅ 0,866 i ^ + 0,5 k ^

Vamos escrever esse produto de uma maneira mais fácil de visualizar o que está acontecendo. Algumas componentes ali são nulas, e só podemos fazer o produto termo a termo e entre termos iguais:

M A B = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^ + 0 k ^ ⋅ 0,866 i ^ + 0 j ^ + 0,5 k ^

M A B = - 0,375 ( 0,866 ) + 0 + 0

M A B = - 0,325   N ⋅ m

Agora que temos que sabemos que:

M → ⋅ n → A B = - 0,325   N ⋅ m

Podemos escrever este momento como um vetor multiplicando seu módulo pelo vetor unitário:

M → A B = M → ⋅ n → A B n → A B

M → A B = - 0,325 0,866 i ^ + 0,5 k ^

M → A B = - 0,2810 i ^ - 0,1625 k ^   N ⋅ m

Resposta

a )   M → = - 0,375 i ^ + 0,325 j ^   N ⋅ m

b )   M → A B = - 0,2810 i ^ - 0,1625 k ^   N ⋅ m

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