Considere dois osciladores harmônicos idênticos com constantes de mola e acoplados por uma mola muito fraca com constante . A variação na frequência de vibração do modo antissimétrico com relação ao modo simétrico vale aproximadamente?

Bom, o enunciado cita dois modos de vibração: o simétrico e o antissimétrico. Vamos seguir o passo a passo para achar as frequências dos modos de vibração.

Primeiro, vamos adotar deslocamentos positivos e para as massas:

Considerando que , a mola central estará sendo esticada e o módulo da força elástica que a mesma gerará nas massas será:

O sentido das forças em cada massa será:

Bora escrever as EDO’s agora, usando o sentido adotado para cada força:

Para a massa 1:

Para a massa 2:

Reescrevendo e isolando

Usando as soluções padrões:

Substituindo e lembrando que:

Assim:

Cortando todos os cossenos:

Escrevendo o sistema na forma matricial:

Como não queremos a solução trivial, o determinante da matriz acima tem que ser nulo:

Assim:

E:

A frequência do modo simétrico será o menor e a frequência do modo assimétrico é a maior:

O modo simétrico apresenta deslocamentos nas extremidades simétricos:

E o assimétrico, deslocamentos assimétricos:

Queremos saber a variação do modo antissimétrico em relação ao modo simétrico. Quer dizer que queremos calcular:

Assim:

Beleza? Como , , assim, podemos usar a aproximação:

Usando:

Vamos ter:

Substituindo em