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Exercícios Resolvidos de Oscilações Acopladas

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Exercício 91234567810111213

Enunciado

As figuras (1), (2) e (3) mostram diferentes configurações de sistemas massa-mola. Todas as massas e molas das figuras são iguais. Em relação às frequências de oscilação, podemos afirmar que:

  1. f 1   >   f 2   >   f 3
  2. f 2   >   f 3   >   f 1
  3. f 3   >   f 1   >   f 2
  4. f 3   >   f 2   >   f 1
  5. f 2   >   f 1   >   f 3

Passo 1

posição x ( t ) de uma massa m sujeita a uma força resultante do tipo F = - k x (onde x é medido a partir da posição de mola relaxada) satisfaz a equação diferencial do oscilador harmônico simples:

x ˙ ˙ + ω 2 x = 0 , com ω = k / m

Cuja solução pode ser escrita da forma:

x t = A c o s ( ω t + ϕ )

com as constantes A   e   ϕ a serem determinadas a partir das condições iniciais do problema. Ou seja, o movimento é periódico, com frequência

f = ω 2 π = 1 2 π k m .  

Passo 2

Para os sistemas (1), (2) e (3) da figura, um deslocamento x da massa m com respeito à posição de mola relaxada faz surgir forças restauradoras

F 1 = - 2 k x ,     F 2 = - 3 k x ,       F 3 = - 4 k x ,

respectivamente. Dessa forma, os sistemas se comportam como massa-mola, com constantes de mola efetiva dados por k 1   =   2 k ,   k 2   =   3 k   e   k 3   =   4 k . As frequências naturais de oscilação são então:

f 1 = 1 2 π 2 k m ,         f 2 = 1 2 π 3 k m ,           f 3 = 1 2 π 4 k m .

Resposta

Letra D

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