Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

Considerando que atuam em um corpo as forças F 1 → = i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ e F 2 → = 3 i ^ + j ^ + 2 k ^ , assinale a afirmação correta.

  1. A diferença entre as duas forças é dada por Δ F → = 2 i ^ - j ^ - k ^ e independe da ordem em que seja calculada.
  2. A razão entre os produtos escalares da força resultante F R → com cada uma das duas forças satisfaz à condição F R →     .   F 2 → / F R →     .   F 1 → > 1 .
  3. Quanto aos módulos das duas forças e de sua resultante, F 1 = F 2 = 14 e F R = 2 F 1 .
  4. O ângulo entre as duas forças é dado por c o s   θ = 11 / 14 .
  5. Os ângulos ϕ 1 e ϕ 2 que as duas forças fazem com o eixo z estão relacionados por ϕ 1 > ϕ 2 .

Passo 1

Se liga! Vamos começar analisando o item (a). A diferença entre os vetores pode ser F 1 → - F 2 → ou F 2 → - F 1 → .

F 1 → - F 2 → = - 2 i ^ + j ^ + k ^

F 2 → - F 1 → = 2 i ^ - j ^ - k ^

Podemos notar que o depende da ordem que calculamos. Portanto eliminamos a alternativa (a).

Passo 2

Podemos calcular a força resultante como a coma entre as duas forças. Sendo assim

F R → = 4 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^ .

Agora só precisamos fazer o produto escalar e verificar o valor

F R →     .   F 2 → F R →     .   F 1 → = 12 + 3 + 10 4 + 6 + 15 = 25 25

Como

25 25 = 1

Temos que a alternativa (b), também está errada.

Passo 3

Vamos analisar o item (c)! Agora precisamos calcular o módulo dos vetores. F 1 = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14

F 2 = 3 2 + 1 2 + 2 2 = 14

F R = 4 2 + 3 2 + 5 2 = 50

Logo temos que,

F R ≠ 2 F 1 .

Portanto a alternativa (c) também está errada.

Passo 4

Agora vamos ver a letra (d).

Precisamos lembrar como achamos o ângulo entre dos vetores.

Se o ângulo θ é o ângulo entre os dois vetores. Temos que

c o s   θ = F 1 →     .     F 2 → F 1 →   F 2 → .

Sabendo que F 1 →     .     F 2 → é o produto interno, temos

F 1 →     .     F 2 → = 3 + 2 + 6 = 11

Como já vimos no teste do item (c), sabemos que

F 1 = F 2 = 14

Logo

c o s   θ = 11 14

Enfim chegamos a uma alternativa correta.

Resposta

( d )

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