Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Enunciado

Em um movimento circular uniforme onde os vetores posição, velocidade e aceleração da partícula valem r → , v → e a → , respectivamente, (considere a origem do sistema de referência no centro do círculo) marque a alternativa correta para o resultado das seguintes equações: r → ∙ a → / r → a → , v → ∙ a → / v → a → e r → ∙ v → / r → v → :

(A) 1, 0, 0, respectivamente

(B) 0, 0, 0, respectivamente

(C) 0, 1, 0, respectivamente

(D) 0, -1, 0, respectivamente

(E) -1, 0, 0, respectivamente

Passo 1

Para fazer essa questão, vamos lembrar duas coisas.

A primeira é como funcionam esses vetores no movimento circular uniforme.

O vetor posição r → vai do centro do círculo até a partícula:

A aceleração sobre o corpo atua como uma aceleração centrípeta apontando para o centro da curva:

E o vetor velocidade v → é sempre tangente à curva:

Vamos relembrar agora o produto escalar.

O produto escalar entre dois vetores resulta em um número e nós calculamos com:

a → ∙ b → = a → b → c o s θ

Sendo θ o ângulo entre eles.

Passo 2

Show, então vamos aplicar esse conceito em cada um dos casos.

Primeiro:

r → ∙ a → r → a → = r → a → c o s θ r → a → = c o s θ

O ângulo entre r → e a → é 180 ° .

Eles estão na mesma direção mas em sentidos contrários:

cos ⁡ 180 ° = - 1

Segundo:

v → ∙ a → v → a → = v → a → c o s θ v → a → = c o s θ

Pegou o espírito né?

Basta calcularmos o cosseno do ângulo entre os vetores.

Os vetores v → e a → são perpendiculares, logo θ = 90 ° :

cos ⁡ 90 ° = 0

Terceiro:

r → ∙ v → r → v → = c o s θ

Os vetores r → e v → também são perpendiculares:

cos ⁡ 90 ° = 0

Então, ficamos com -1, 0, 0, respectivamente (letra E).

Resposta

Letra (E)

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