USP, Física 4, P1 2017.2, 3
Uma estrela esférica de raio R em equilíbrio térmico à temperatura T emite radiação térmica.
(a) Supondo que a estrela emita energia térmica como um corpo negro, calcule a quantidade de massa ∆m perdida pela estrela durante um intervalo de tempo ∆t.
(b) Um laboratório na Terra observa que o comprimento de onda do máximo da distribuição de radiação térmica da estrela é . Supondo que a estrela esteja se afastando da Terra com velocidade v = 0, 6c, calcule sua temperatura.
Passo 1
Para resolvermos esse problema temos que fazer o seguinte, no primeiro objetivo temos que fazer o seguinte, primeiro devemos lembrar qual a fórmula que relaciona a intensidade emitida pelo corpo negro e a potencia emitida por essa estrela, mas porque relacionar com a potencia? Exatamente porque a potencia nos da uma relação entre energia e tempo, ou seja, a relação que o exercício quer que façamos, mas vamos a fórmula.
Sabemos que
Isolando a potencia teremos que
Mas quanto vale cada um desses termos?
Como se trata de um corpo negro com temperatura T constante, sabemos que a intensidade nesse caso é calculada pela fórmula de Stefan-Boltzmann dada por
Em que é a temperatura do corpo negro e é a constante de proporcionalidade chamada constante de Stefan-Boltzmann.
Como se trata de uma estrela esférica sabemos que a área dela é dada por
Ou seja, podemos escrever a potencia da seguinte forma
Passo 2
Agora no próximo passo precisamos entender o seguinte, todo esse processo ocorre conservando a energia do sistema, ou seja, a energia inicial do processo é igual a energia final do processo, mas como relacionaremos isso?
Sabemos que de energia inicial, a estrela terá apenas a sua massa de repouso, dada por
E para energia final?
Lembra que calculamos uma potencia de energia perdida? Sabemos que potencia e tempo se relacionam da seguinte forma
Logo teremos que a energia será
E lembra que já definimos a potencia calculada?
Então para energia final teremos o seguinte
Igualando as energias teremos o seguinte
Feito isso chegamos exatamente no nosso objetivo, a massa perdida pela nossa estrela em uma variação de tempo é a seguinte.
Passo 3
Nesse caso como a estrela se afasta da terra a uma velocidade de 60% a velocidade da luz, teremos que lembrar de alguns conceitos muito importantes.
O primeiro deles é que a uma velocidade dessas devemos considerar o efeito Doppler relativístico para essa estrela, analisando em função do comprimento de onda e que é dado pela fórmula.(observação: tome cuidado pois aqui usaremos o efeito Doppler para o caso em que a estrela se afasta, que é exatamente o caso do exercício, se por acaso fosse algo se aproximando deveríamos considerar outra fórmula, tome apenas cuidado com isso).
Sabemos que
Substituindo os valores teremos
Passo 4
Agora que já descobrimos o valor do comprimento de onda da estrela precisamos descobrir como calcular a sua temperatura, e aqui vale lembrar da lei de deslocamento de Wien que é dada pela fórmula
Isolando o valor da temperatura teremos que
Mas como já definimos o valor do em função do
Substituindo teremos
Por fim teremos
Resposta
a)
b)