Origem do Exercício
Uma estrela tem massa , raio e temperatura .
- Calcule a potência térmica irradiada por esta estrela.
- Calcule a massa que esta estrela perde por unidade de tempo devido à energia térmica irradiada.
- Calcule o tempo para que a massa desta estrela diminua de .
Passo 1
Letra a)
Temos a temperatura da estrela, e queremos potência térmica. Não ajudou muito ainda.
Mas o único corpo que sabemos calcular um problema parecido é o corpo negro. No corpo negro, a intensidade térmica (o que significa dizer “intensidade luminosa devido ao corpo estar MUITO QUENTE”) é dada pela lei de Stefan Boltzmann.
Onde . Porém, intensidade luminosa é a potência dividida pela área que a luz se espalha. Então, temos indiretamente a potência.
Ok, mas e a droga da estrela? Ahn, finge aí que é um corpo negro. Não conheço nenhuma outra fórmula! (Pode não ser exatamente a mesma coisa, mas é bom pra uma primeira aproximação).
Show, agora se considerarmos que a estrela irradia luz em todas as direções (ou seja, numa esfera ao redor dela), podemos usar como área a sua superfície, e aí temos:
Passo 2
Letra b)
A massa da estrela é . Sabemos que devido a isso, ela também tem uma energia de repouso associada (vamos considerar o referencial da estrela, no qual ela está parada, e por isso essa é sua única energia).
Se derivarmos essa expressão da energia, temos:
A variação da energia com o tempo é toda devida à variação de sua massa. Porém, essa variação da energia com o tempo é igual à potência luminosa! (A potência luminosa é a taxa de energia liberada na forma de luz).
Juntando tudo:
Que é a massa perdida por unidade de tempo devido à radiação térmica da estrela.
Passo 3
Letra c)
Essa parte é um pouco pegadinha. A ideia é a seguinte: Em um tempo suficientemente curto, podemos considerar que a variação de massa é aproximadamente:
Considerando que a variação de tempo é e que queremos que a estrela perca da massa inicial, , temos:
Agora, se a gente estivesse considerando que o raio da estrela e a temperatura dela são constantes, então essa expressão passa a ser exata e aí poderíamos dizer que:
Isso é devido ao fato de que seria constante, e assim seria uma reta. Logo o coeficiente angular seria:
Pelo enunciado, dá a entender que é constante (pois embora ele escreva a massa como , ele não faz isso pro raio).
Caso não fosse constante devido ao raio e quiséssemos achar de forma exata, nós teríamos uma EDO muito louca, que não dá pra resolver numa prova (ou aqui). Então vamos ficar com essa resposta mesmo.
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)