USP – Física 4 – 2019 – P2 – Exercício 4
Uma estrela esférica de raio e com temperatura emite radiação térmica como um corpo negro.
a) Calcule a quantidade de massa perdida pela estrela durante um intervalo de tempo (expresse sua resposta em termos da constante de Stefan-Boltzmann, de , , e ).
b) Um laboratório na Terra observa que o comprimento de onda do máximo da distribuição de radiação térmica da estrela é . Supondo que a estrela esteja se afastando da Terra com velocidade , calcule sua temperatura, como função de , , e da constante de Wien .
Passo 1
Essa é a última questão da P2 de 2019, estamos quase acabando! Vamos falar aqui sobre radiação de corpo negro: no item (a) sobre lei de Stefan-Boltzmann e no (b) sobre lei de Wien com um pouquinho de efeito Doppler.
Se a estrela tem uma temperatura , a intensidade total da radiação emitida é
Isso representa a energia por unidade de tempo e por unidade de área emitida pela estrela na forma de radiação térmica. Multiplicando pela área da superfície da estrela nós obtemos a potência emitida:
Lembre-se que a área da superfície de uma esfera é . A energia perdida num intervalo de tempo é obtida multiplicando-se a potência pelo tempo:
Passo 2
Mas nós estamos interessados na massa perdida, não na energia. Para isso, basta relacionar massa e energia:
Portanto,
Assim, a massa perdida é
Passo 3
No item (b) queremos saber qual é a temperatura real da estrela. O laboratório, presente na Terra, detecta um comprimento de onda para o máximo de emissão. Todavia, devido ao efeito Doppler, esse não é o comprimento de onda real.
Usando a expressão do efeito Doppler relativístico, temos que o comprimento de onda real se relaciona com o aparante por
Os sinais foram escolhidos assim pois a estrela está se afastando. Caso ela estivesse se aproximando, teríamos que inverter os sinais.
O comprimento representa o comprimento de onda aparente, de modo que o comprimento real é dado pela equação
Portanto,
Passo 4
Agora podemos recorrer à lei de Wien:
Portanto,
Assim,
Essa é a temperatura real da estrela. Se desconsiderássemos o efeito Doppler, a resposta seria apenas , sem o outro fator.
Resposta
a)
b)