Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

Ver Teoria

Enunciado

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y , z = x + 2 y + 3 z

É uma função polinomial, então é contínua em todo R 3 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 ; x + y + z ≤ 1  

Compreende a parte de um plano e sua fronteira tal que x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 . Logo, como o conjunto contém a sua fronteira, o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma esfera com centro em 0,0 , 0 e comum raio suficientemente grande como r = 1 0 0 . Podemos afirmar que o conjunto x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 ; x + y + z ≤ 1  

Se encontra totalmente dentro dessa esfera. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Sim

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o ponto P(x, y, z) do plano x +3 y +2 z =6 , cuja distância à origem seja mínima.
Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados:(1, 2), (0, 0) e (2, 3).
Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados:(0,1), (1, 2), (2, 3) e (2, 4).
Uma firma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm³ de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determina
Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.