Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y , z = x + 2 y + 3 z

É uma função polinomial, então é contínua em todo R 3 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 ; x + y + z ≤ 1  

Compreende a parte de um plano e sua fronteira tal que x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 . Logo, como o conjunto contém a sua fronteira, o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma esfera com centro em 0,0 , 0 e comum raio suficientemente grande como r = 1 0 0 . Podemos afirmar que o conjunto x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 ; x + y + z ≤ 1  

Se encontra totalmente dentro dessa esfera. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Sim

Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

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