Encontre os valores máximos absolutos e mínimos absolutos da função

No domínio .

Indique onde esses valores extremos são atingidos.

Explique por que esses valores extremos devem existir.

Para avaliar dentro da nossa região a gente faz aquele rolê de achar os pontos críticos da nossa função. Bora calcular as derivadas parciais:

Repara que uma delas, a , nunca zera. E pontos críticos são pontos onde as duas derivadas zeram ao mesmo termpo. Como uma delas nunca zera. Não temos pontos críticos ☹

Mas já respondendo a pergunta do enunciado, mesmo que a gente não tenha pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo vão existir certamente na fronteira da nossa região. Por que?

Há um teorema que diz que, em uma região fechada e limitada, uma função contínua tem sempre um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto. E se esse valor não acontece dentro da região, com certeza vai acontecer na fronteira dessa região.

O nome desse teorema é teorema do valor extremo. E essa última situação mencionada será o nosso caso, beleza? Isso porque nossa região é fechada e limitada. E nossa função contínua.

Agora a gente vai analisar nossa fronteira. Vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Essa é a nossa fronteira:

Vamos isolar tudo de um lado só e chamar de uma função :

Aí a gente monta a fórmula:

As derivadas parciais de a gente já tem. Aí vamos calcular as de :

Isso dá para gente duas equações:

Agora a gente faz um sisteminha com essas duas equações e a equação da restrição .

Da segunda equação a gente tem

E daí a gente tira dois caminhos, ou , ou

- Para , segundo a terceira equação, a gente tem

Daí a gente tem os pontos canditados

- Para , segundo a primeira equação, a gente tem

Jogando na terceira equação

Aí a gente tem mais dois pontos candidatos:

Agora a gente testa os candidatos na nossa função para ver quem dá o maior e o menor valor:

Aí a gente vê que o maior valor (nosso máximo absoluto) ocorre nos pontos e vale , e o menor valor (nosso mínimo absoluto) ocorre em e vale .