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Exercícios Resolvidos de Teorema de Weierstrass

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Enunciado

IME, Cálculo 3, 2021, VE2, Q3

Estude a convergência da série ∑ n = 1 ∞ x n 1 + n x 2 ,     x ∈ R ,   considerando as convergências pontual e uniforme.

Passo 1

Falaaa, pessoal! Nessa questão, utilizaremos o Teste M de Weierstrass, o qual diz que dada uma sequência de funções ( u n ( x ) ) , se existe uma sequência ( M n ), tal que:

0 ≤ | u n x   | ≤ M n       ∀ n ≥ N ∈ Z ,     x ∈ I

E a série ∑ M n   converge, então ∑ f n ( x ) converge uniformemente em I . Para isto, precisamos determinar os valores máximos de u n x = x n 1 + n x 2 . Derivando e igualando a 0 , temos:

u n ' = 1 + n x 2 - x ⋅ 2 n x n 1 + n x 2 2

⇒ u n ' x = 1 - n x 2 n 1 + n x 2 2 ,         u n ' = 0

⇒ x = ± 1 n

Pelo teste da segunda derivada, temos:

u n ' ' = - 2 n x ⋅ 1 + n x 2 2 - 1 - n x 2 ⋅ 2 1 + n x 2 ⋅ 2 n x n 1 + n x 2 4

⇒ u n ' ' = - 2 n x 1 + n x 2 [ 1 + n x 2 + 2 ( 1 - n x 2 ) ] n 1 + n x 2 4

⇒ u n ' ' = - 2 x [ 3 - n x 2 ] 1 + n x 2 3

Tal que nos pontos em que a derivada se anula, n x 2 = 1 e:

u n ' ' ± 1 n = - 2 ⋅ 2 2 3 ± 1 n = ∓ 1 2 n

Logo, u n ' ' 1 n < 0 e u n ' ' - 1 n > 0 , isto é, 1 / n é ponto de máximo local e - 1 / n de mínimo local.

Passo 2

Os possíveis pontos de máximo global para o módulo são, pois, os extremos que encontramos e as extremidades do intervalo de x . Nesse caso, x ∈ R e para n ≥ 1 , logo nas extremidades:

lim x → ± ∞ ⁡ | u n ( x ) | = lim x → ± ∞ ⁡ x n 1 + n | x | 2 ⋅ 1 x 1 x

= lim x → ± ∞ ⁡ 1 n 1 x + n | x | = 0

Enquanto: u n ± 1 n = ± 1 n n 1 + n 1 n 2 = 1 2 n 3 2 . Como possuem valor maior que nas extremidades, temos que o máximo global do módulo são os extremos com

0 ≤ | u n | ≤ 1 2 n 3 2 = M n ,           ∀ x ∈ R

Passo 3

Note que a série ∑ M n determinada converge, uma vez que é da forma ∑ 1 / n p com p = 3 / 2 > 1 . Logo, pelo Teste M de Weierstrass, u n converge uniformemente ∀ x ∈ R . Em virtude disto, converge pontualmente ∀ x ∈ R .

Resposta

A série converge uniforme e, portanto, pontualmente para todo x ∈ R .

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