O que podemos afirmar sobre a existência de valores extremos da função
No conjunto ?
Passo 1
Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:
Começamos verificando a continuidade da função
É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo .
Passo 2
Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:
Que é o interior e a fronteira da circunferência de raio e centro em . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.
Passo 3
Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região é o interior e a fronteira da circunferência de raio e centro em .
Então, basta imaginar-mos uma círculo com centro em e um raio grande, por exemplo, para garantir que o conjunto está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região é limitada.
Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globais de no conjunto
Resposta
Podemos afirmar a existência de valores extremos da função no conjunto .