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Exercícios Resolvidos de TL Composta

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Exercício 61234578910111213

Enunciado

Como construir e inverter uma TL e composição de TL’S

Considere as transformações lineares S : M 2 × 2 ⟶ P 2 e T : P 2 ⟶ R 3 dadas por

S a b c d = a + b + c 2 x + d x 2

T p = p 0 , p 1 3 , p 0

( b ) A transformação linear T ∘ S é injetiva? Justifique.

Passo 1

Bom, existem alguns jeitos de fazer essa questão. Um deles é calcular a expressão de T ∘ S no braço mesmo, fazer aquela contarada toda e tal, e depois ver quem são os geradores do núcleo, e se se só tiver o vetor nulo ela é injetiva, se não, não é. Mas acho que você não quer fazer isso, rs.

Passo 2

Então, vamos fazer de um jeito mais esperto. Se ela é injetiva, então N u c T ∘ S = 0 ⇒ dim ⁡ N u c T ∘ S = 0 . Assim, vamos usar o Teorema Núcleo-Imagem!

dim ⁡ N u c ( T ∘ S ) + dim ⁡ I m T ∘ S = d i m ⁡ ( ? ? )

Quem seria o domínio da nossa composta? Repare que ela pega um cara de M 2 × 2 e “cospe” um cara de R 3 . Assim:

T ∘ S :   M 2 × 2 ⟶ R 3

Passo 3

Voltando para o TNI:

dim ⁡ N u c ( T ∘ S ) + dim ⁡ I m T ∘ S = dim ⁡ M 2 × 2 = 4

Como a imagem sempre está contida no contradomínio, então ela pode ter NO MÁXIMO a dimensão dele.

E, assim, sabemos que dim max ⁡ I m T ∘ S = dim ⁡ R 3 = 3 . Então, esta transformação não pode ser injetiva, pois o núcleo dela nunca pode ter dimensão zero (que só ocorre quando ele apenas contiver o zero). Na melhor das hipóteses, teríamos dim ⁡ I m T ∘ S = 3 e, assim, dim ⁡ N u c ( T ∘ S ) = 1 .

Resposta

Não é injetiva.

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