As transformações e são tais que e .

Sendo uma base do , determinar a matriz .

Determinar sendo e a base canônica.

Começando por , aplicamos a transformação aos vetores da base do domínio :

Como estamos usando a base canônica no contra domínio de , basta jogarmos esses vetores como colunas de uma matriz:

Agora para , aplicamos a transformação na base do domínio :

Passamos esses vetores para a base do contra domínio :

Logo:

Jogando esses vetores como colunas de uma matriz, temos que:

Por fim,

Vamos começar por Dessa vez a base do foi dada:

Portanto, tomamos como base do a canônica:

Primeiro . Aplicamos a transformação nos vetores da base do domínio :

Como estamos usando a base canônica no contra domínio de , basta jogarmos esses vetores como colunas de uma matriz:

Agora . Aplicamos a transformação na base do domínio :

Passamos esses vetores para a base do contra domínio :

Logo:

Jogando esses vetores como colunas de uma matriz, temos que:

Finalmente,

Força que tá acabando gente! Agora vamos achar com a base do canônica:

Novamente, tomamos como base do a canônica:

Primeiro . Como as bases do domínio e do contra domínio são as canônicas, temos:

Portanto,

Agora . Novamente, as bases do domínio e do contra domínio são as canônicas, então:

Logo:

Pra terminar,