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Exercícios Resolvidos de TL Composta

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Exercício 41235678910111213

Enunciado

Seja a transformação linear:

S : R 3 → R 4 ,   S x , y , z = x + y , z , x - y , y + z

a   Calcular S ∘ T x , y se:

T : R 2 → R 3

x , y → 2 x + y , x - y , x - 3 y

b Determinar a matriz canônica de S ∘ T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica S pela matriz canônica T .

Passo 1

a Calculando S ∘ T x , y :

S ∘ T x , y = S T x , y = S 2 x + y , x - y , x - 3 y =

= 2 x + y + x - y , x - 3 y , 2 x + y - x - y ,   x - y + x - 3 y =

= 3 x , x - 3 y , x + 2 y , 2 x - 4 y

Logo:

S ∘ T x , y = 3 x , x - 3 y , x + 2 y , 2 x - 4 y

Passo 2

b Passando S ∘ T x , y para a forma matricial:

S ∘ T x , y = 3 x x - 3 y x + 2 y 2 x - 4 y = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4 x y

Logo:

S ∘ T = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4

Passo 3

Agora passando T para a forma matricial:

T x , y = 2 x + y x - y x - 3 y = 2 1 1 - 1 1 - 3 x y

Então:

T = 2 1 1 - 1 1 - 3

Passo 4

Agora S :

S x , y = x + y z x - y y + z = 1 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 1 x y z

Portanto:

S = 1 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 1

Passo 5

Finalmente, temos que:

S ∙ T = 1 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 1 × 2 1 1 - 1 1 - 3 = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4 = S ∘ T

E fim de papo.

Resposta

a   S ∘ T x , y = 3 x , x - 3 y , x + 2 y , 2 x - 4 y

b   S ∘ T = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4  

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