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Exercícios Resolvidos de TL Composta

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Exercício 12345678910111213

Enunciado

Sabendo que:

T 1 - x = 1 0 0 - 1

T 1 + x = 1 0 0 1

T x 2 = - 1 1 - 1 2

S : R 3 ⟶ P 2

S w , y , z = w + y + 2 w x + z + y x 2

a   Calcule T ( a + b x + c x 2 )

b   Calcule T ∘ S

Passo 1

a   Caramba, polinômios, vetores e matrizes juntos!! E agora???!!

Relaxa, é só seguir os mesmos passos, só que com vetores, e lembrando como se trabalha com polinômios.

Primeira coisa a fazer é a nossa boa e velha combinação linear de uma base do nosso domínio. Como T : P 2 → M 2 × 2 , uma base para ele seria:

β = { 1 - x , 1 + x , x 2 }

Então, podemos fazer uma C L desses elementos para gerar nosso elemento genérico, que é a + b x + c x 2 :

a + b x + c x 2 = α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2

Passo 2

Agora vamos aplicar T dos dois lados:

T a + b x + c x 2 = T ( α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2 )

Como T é linear, podemos abrir a expressão do nosso lado direito da equação:

T a + b x + c x 2 = α 1 T 1 - x + α 2 T 1 + x + α 3 T ( x 2 )

E aplicando as informações do enunciado:

T a + b x + c x 2 = α 1 1 0 0 - 1 + α 2 1 0 0 1 + α 3 - 1 1 - 1 2       ( I )

Passo 3

Po, mas ainda tem esses α 1 ,   α 2 ,   α 3 atrapalhando a gente. Lembra que se fossem vetores, você tinha que botar esses coeficientes em função de x , y , z (se fosse do R 3 ), porém agora são polinômios, então você tem que botar esses α 1 ,   α 2 ,   α 3 , em função de a , b , c como se fossem x , y , z .

a + b x + c x 2 = α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2 ⇒

a + b x + c x 2 = α 1 - α 1 x + α 2 + α 2 x + α 3 x 2 ⇒

a + b x + c x 2 = α 1 + α 2 + α 2 - α 1 x + α 3 x 2 ⇒

α 1 + α 2 = a ⇒ α 1 + b + α 1 = a ⇒ 2 α 1 = a - b ⇒ α 1 = a - b 2 α 2 - α 1 = b ⇒ α 2 = b + α 1 ⇒ α 2 = b + a - b 2 ⇒ α 2 = a + b 2 α 3 = c

Passo 4

Após achar os coeficientes α 1 ,   α 2 ,   α 3 , vamos substituir na nossa equação ( I ) :

T a + b x + c x 2 = a - b 2 1 0 0 - 1 + a + b 2 1 0 0 1 + c - 1 1 - 1 2

Fazendo as contas veremos que:

T a + b x + c x 2 = a - b 2 0 0 b - a 2 + a + b 2 0 0 a + b 2 + - c c - c 2 c

T a + b x + c x 2 = a - c c - c b + 2 c

Passo 5

b   Agora que já achamos T , basta compormos ela com S .

Como: S w , y , z = w + y + 2 w x + z + y x 2

Então:

T ∘ S w , y , z = T w + y ⏟ a + 2 w ⏟ b x + z + y ⏟ c x 2

Vamos substituir direitinho termo a termo segundo a fórmula da transformação T que acabamos de achar:

T ∘ S w , y , z = w + y ⏟ a - ( z + y ) ⏟ c z + y ⏟ c - ( z + y ) ⏟ c 2 w ⏟ b + 2 ( z + y ) ⏟ c ⇒

T ∘ S w , y , z = w - z z + y - z - y 2 ( w + z + y )

Resposta

a   T a + b x + c x 2 = a - c c - c b + 2 c

b   T ∘ S w , y , z = w - z z + y - z - y 2 ( w + z + y )

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