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Exercícios Resolvidos de TL Composta

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Exercício 10123456789111213

Enunciado

Álgebra Linear – UFPE – 2° EE

Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.

  1. Existe uma transformação linear T : R 2 → R 2 tal que 1 , - 1 é autovetor associado ao autovalor λ = 2 , T 1,2 = 2,3 e T 2,1 = 4 , - 1 .
  2. Existe uma transformação linear injetora T : M 2,2 → R 3 .
  3. Se α é uma base de R 2 , β é uma base de P 1 , T : R 2 → P 1 e S : P 1 → R 2 são tais que

T β α = 1 0 1 2                     S α β = 1 2 1 1

Então L = S ∘ T : R 2 → R 2 é invertível (Obs. L v = S T v ).

Passo 1

Primeiro, precisamos determinar quem é a matriz L . Na base α ela é dada por:

L α α =   S α β ⋅ T β α = 1 2 1 1 ⋅ 1 0 1 2

Agora, precisamos multiplicar estas duas matrizes. Lembrando, multiplicamos a linha da primeira matriz pela coluna da segunda. O elemento a i j da matriz resultante será obtido multiplicando a linha i da primeira matriz pela coluna j da segunda matriz.

Realizando esta multiplicação, vamos obter:

L α α =   1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 = 3 4 2 2

Agora, se nós queremos saber se L é invertível, basta checar o determinante da matriz. Se ela for igual a 0, sabemos automaticamente que não é invertível. Caso contrário, significa que ela é invertível sim. Calculando o determinante, temos:

det ⁡ L α α = 3 ⋅ 2 - 2 ⋅ 4 = 6 - 8 = - 2

Como o determinante é diferente de 0, a matriz L é invertível sim! A afirmativa é verdadeira!

Resposta

O enunciado é verdadeiro!

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