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Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Exercício 812345679101112131415

Enunciado

Considere duas cidades C 1 e C 2 que, segundo um observador na superfície da Terra, estão separadas por uma distância de 500km. Um observador terrestre observa dois eventos simultâneos E 1 e E 2 que ocorrem nas cidades C 1 e C 2 , respectivamente. Uma aeronave viaja de C 1 para C 2 com velocidade de 12 13 c . Os eventos E 1 e E 2 são simultâneos para um observador na aeronave? Se não, qual deles ocorrerá primeiro e qual a diferença de tempo?

Passo 1

Vamos chamar de Δ t o intervalo de tempo medido no referencial S que está em repouso na Terra e Δ t ' o intervalo de tempo medido no referencial S’ que está fixo na aeronave, e, portanto, se move com velocidade v = 12 13 c .

Pelas transformadas de Lorentz:

Δ t ' = γ Δ t - v Δ x c 2

Como o enunciado disse que os eventos são simultâneos para um observador em S, então Δ t = 0 .

Substituindo na equação acima:

Δ t ' = - γ v Δ x c 2

Temos que obrigatoriamente γ ≠ 0 e pelos dados do enunciado, v ≠ 0 e Δ x ≠ 0 .

Logo, Δ t ' ≠ 0 e os eventos não são simultâneos para um observador no referencial S’.

Passo 2

Substituindo os dados do enunciado na expressão de Δ t ' , encontramos a diferença de tempo.

Δ t ' = - γ v Δ x c 2

Sabemos que:

γ = 1 1 - v 2 c 2  

γ = 1 1 - 12 13 c 2 c 2

γ = 1 25 169

γ = 13 5

Substituindo na fórmula junto com os demais dados:

Δ t ' = - 13 5 × 12 c 13 × 500 × 10 3 c 2

Δ t ' = - 12 × 10 5 3 × 10 8

Δ t ' = - 4 × 10 - 3 s

Como Δ t ' < 0 , o evento E 2 ocorre antes do evento E 1 .

Resposta

Os eventos não são simultâneos para um observador no referencial S’.

Δ t ' = - 4 × 10 - 3 s

O evento E 2 ocorre antes do evento E 1 .

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