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Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Exercício 121234567891011131415

Enunciado

Transformações de Lorentz e Doppler Relativístico

Num referencial parado na Terra, dois estudantes de Física IV, que têm coordenadas espaciais dadas por x 1 = 300 m , x 2 = 600 m , y 1 = y 2 = 0 , z 1 = z 2 = 0 , emitem dois sinais luminosos separados por um intervalo de tempo igual a t = 10 - 6 s .

Outro estudante está numa nave que se desloca em relação à Terra com velocidade igual a v → = 0,6 c   x ^ .

As origens dos dois sistemas coincidem para t = t ' = 0 .

Qual a distância e o intervalo de tempo medidos por este estudante que está na nave, entre os dois sinais emitidos?

  1. 10 8 × 10 - 6 s ;   375 m
  2. 0,5 × 10 - 6 s ;   240 m
  3. 0,5 × 10 - 6 s ;   150 m
  4. 8 10 × 10 - 6 s ;   240 m
  5. 8 10 × 10 - 6 s ;   375 m
  6. Nenhuma das anteriores

Passo 1

De acordo com as transformações de Lorentz para o espaço de um referencial em repouso para um referencial em movimento:

x ' = γ ( x - u t )

A variação de espaço Δ x ' é dada por:

Δ x ' = γ ( Δ x - u Δ t )

Passo 2

Vamos começar calculando γ .

γ = 1 1 - u 2 c 2

Onde u = 0,6 c . Logo:

γ = 1 1 - 0,6 c c 2 = 1 1 - 0,36 = 1 0,64 = 1 0,8

γ = 10 8 = 1,25

Passo 3

Δ x ' = γ ( Δ x - u Δ t )

Onde:

γ = 1,25 ;

Δ x = 300   m ;

Δ t = 10 - 6   s ;

u = 0,6 c ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

Δ x ' = 1,25 × 300 - 0,6 × 3 × 10 8 × 10 - 6

Δ x ' = 150   m

Passo 4

De acordo com as transformações de Lorentz para o tempo de um referencial em repouso para um referencial em movimento:

t ' = γ t - u x c 2

Logo, o intervalo de tempo é dado por:

Δ t ' = γ Δ t - u Δ x c 2

Onde:

γ = 1,25 ;

Δ t = 10 - 6 ;

u = 0,6 c ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Δ x = 300   m ;

Logo:

Δ t ' = 1,25 10 - 6 - 0,6 × 3 × 10 8 × 300 ( 3 × 10 8 ) 2

Δ t ' = 0,5 × 10 - 6   s

Resposta

Letra (c): 0,5 × 10 - 6 s ;   150 m

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