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Exercícios Resolvidos de Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

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Exercício 151234567891011121314

Enunciado

PUC-RIO – Física 4-FIS1061 – 2019.1 – P4

2 . O píon é uma partícula instável, com massa de repouso igual a 140   M e V / c 2 , que é facilmente produzido nas interações de raios cósmicos atingindo a atmosfera e também em colisões produzidas em laboratório. Em um referencial S , o píon é produzido na origem, se desloca com velocidade constante pelo eixo x e se desintegra na posição x = 23,7 m após 83,2 n s .

( b ) Seja outro referencial S ’ , com origem de tempo e espaço coincidente com S , que se move com velocidade 0,8 c no sentido x positivo em relação a S . Qual é a posição e o instante de tempo em que o píon se desintegra, medidos em S ’ ?

Passo 1

Vem comigo para resolvermos esse problema!

Ele quer saber os valores de posição e tempo de quando o píon se desintegra mais agora em um referencial S ' para isso vamos usar as transformadas de Lorentz, dadas por:

x ' = γ ( x - V t )

t ' = γ t - V x c 2

Com isso passamos a posição e o tempo no referencial S para o referencial S ' . Como você pode ver tem V nas equações ele é a velocidade do referencial em movimento, no caso S ' .

Com isso podemos achar o que ele quer.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar o valor de γ , temos que:

γ = 1 1 - V 2 c 2

⇒ γ = 1 1 - ( 0,8 ) 2 c 2 c 2

⇒ γ = 1 1 - 0,64

Com isso temos que:

γ = 1,67

Passo 3

Agora vamos encontrar x ' , temos:

x ' = γ ( x - V t )

Substituindo com o que sabemos, temos:

x ' = 1,67 ( 23,7 - ( 0,8 c ) ( 83,2 ⋅ 10 - 9 ) )

Usando que c = 3 ⋅ 10 8   m / s , temos:

x ' = 1,67 23,7 - 0,8 3 ⋅ 10 8 83,2 ⋅ 10 - 9

= 1,67 ( 27,3 - 19,97 )

Com isso temos que:

x ' = 12,24   m

Passo 4

Agora só falta encontrarmos t ' , temos:

t ' = γ t - V x c 2

Substituindo com o que sabemos, temos:

t ' = 1,67 83,2 ⋅ 10 - 9 - ( 0,8 c ) ( 23,7 ) c 2

⇒ t ' = 1,67 83,2 ⋅ 10 - 9 - 18,96 c

Usando o valor conhecido de c .

t ' = 1,67 83,2 ⋅ 10 - 9 - 18,96 3 ⋅ 10 8

= 1,67 83,2 ⋅ 10 - 9 - 0,632 ⋅ 10 - 9

Temos então que:

t ' = 137,88 ⋅ 10 - 9   s

Resposta

x ' = 12,24   m

t ' = 137,88 ⋅ 10 - 9   s

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