Considere o plano π de equação cartesiana:

π : x + y + z = 0

e as transformações lineares P de projeção ortogonal no plano π e E de espelhamento em relação ao plano π .

(a) Determine a matriz de P na base canônica.

(b) Determine a matriz de E na base canônica.

(c) Determine a matriz da composição P ∘ E na base canônica.

(d) Encontre um plano ρ (em equação cartesiana) tal que P ( ρ ) seja uma reta.

Passo 1

Antes de resolver essa questão, vamos começar definindo uma base para o R 3   formada por um vetor normal ao plano e por dois vetores do plano.

O plano dado é π : x + y + z = 0

Sabemos que os coeficientes dessa equação representam um vetor normal ao plano n π .

Então:

n π = 1,1 , 1

Agora precisamos achar uma base para o plano.

Os vetores do plano são vetores ( x , y , z ) satisfazendo:

x + y + z = 0 ⇒ y = - x - z

Logo:

x , y , z = x , - x - z , z = x 1 , - 1,0 + z 0 , - 1,1

Então uma base para o plano pode ser:

1 , - 1,0 , 0,1 , - 1

E uma base pra R 3 é:

α = { 1,1 , 1 , 1 , - 1,0 , 0,1 , - 1 }

Agora vamos lembrar que:

  • A projeção ortogonal em π   de um vetor que pertence a π dá o próprio vetor.
  • A projeção ortogonal em π de um vetor perpendicular a π dá o vetor nulo.
  • A reflexão em torno de π de um vetor que pertence a π dá o próprio vetor.
  • A reflexão em torno de π de um vetor perpendicular a π dá menos esse vetor.

Agora que fizemos isso vamos começar a resolver a questão!

Passo 2

(a) Como queremos achar a matriz que representa a TL, vamos aplicar a transformação (que é a projeção) nos vetores da base.

Lembrando que a base que achamos é:

α = { 1,1 , 1 , 1 , - 1,0 , 0,1 , - 1 }

Temos:

P 1,1 , 1 = 0,0 , 0

P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0

P 0,1 , - 1 = ( 0,1 , - 1 )

Mas queremos a matriz na base canônica, então não podemos parar aqui.

Vamos escrever os vetores da base canônica do R 3 a partir dos vetores da base α .

Vamos começar com o vetor 1,0 , 0 .

1,0 , 0 = x 1,1 , 1 + y 1 , - 1,0 + z 0,1 , - 1

1,0 , 0 = x + y , x - y + z , x - z

x + y = 1 x - y + z = 0 x - z = 0

Da última equação:

x = z

Da primeira:

y = 1 - x = 1 - z

Substituindo esses valores de x e y na segunda equação:

z - 1 + z + z = 0 ⇒ z = 1 3

Logo:

x = 1 3

y = 2 3

Então:

1,0 , 0 = 1 3 1,1 , 1 + 2 3 1 , - 1,0 + 1 3 ( 0,1 , - 1 )

Agora vamos para o vetor 0,1 , 0 :

0,1 , 0 = x 1,1 , 1 + y 1 , - 1,0 + z 0,1 , - 1

0,1 , 0 = x + y , x - y + z , x - z

x + y = 0 x - y + z = 1 x - z = 0

Da terceira equação:

x = z

Da primeira equação:

x = - y = z

Substituindo na equação do meio:

z + z + z = 1 ⇒ z = 1 3

Então:

x = 1 3

y = - 1 3

E:

0,1 , 0 = 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

Por último, vamos para o vetor 0,0 , 1 :

0,0 , 1 = x 1,1 , 1 + y 1 , - 1,0 + z 0,1 , - 1

0,0 , 1 = x + y , x - y + z , x - z

x + y = 0 x - y + z = 0 x - z = 1

Da primeira equação:

x = - y

Substituindo na segunda:

2 x + z = 0

Somando essa equação com a terceira:

3 x = 1 ⇒ x = 1 3

Então:

z = - 2 3

y = - 1 3

E:

0,0 , 1 = 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 - 2 3 0,1 , - 1

Mas por que fizemos tudo isso mesmo??

Porque queremos a matriz que representa a transformação de projeção na base canônica.

E só tínhamos como saber o que acontece com os vetores da base α que achamos.

Mas agora temos o seguinte:

1,0 , 0 = 1 3 1,1 , 1 + 2 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

Aplicando P dos dois lados: P 1,0 , 0 = P 1 3 1,1 , 1 + 2 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

Mas P é linear, então:

P 1,0 , 0 = 1 3 P 1,1 , 1 + 2 3 P 1 , - 1,0 + 1 3 P ( 0,1 , - 1 )

Mas vimos que:

P 1,1 , 1 = 0,0 , 0

P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0

P 0,1 , - 1 = ( 0,1 , - 1 )

Logo:

P 1,0 , 0 = 1 3 0,0 , 0 + 2 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1 = 2 3 , - 1 3 , - 1 3

E essa é a primeira coluna da matriz P na base canônica!

Agora vamos fazer a mesma coisa para o vetor 0,1 , 0 .

0,1 , 0 = 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

P 0,1 , 0 = P 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

P 0,1 , 0 = 1 3 P 1,1 , 1 - 1 3 P 1 , - 1,0 + 1 3 P 0,1 , - 1

P 0,1 , 0 = 1 3 0,0 , 0 - 1 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

P 0,1 , 0 = - 1 3 , 2 3 , - 1 3

Essa é a segunda coluna da matriz P na base canônica.

Por último, vamos para o vetor 0,0 , 1 .

0,0 , 1 = 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 - 2 3 0,1 , - 1

P 0,0 , 1 = P 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 - 2 3 0,1 , - 1

P 0,0 , 1 = 1 3 P 1,1 , 1 - 1 3 P 1 , - 1,0 - 2 3 P 0,1 , - 1

P 0,0 , 1 = 1 3 0,0 , 0 - 1 3 1 , - 1,0 - 2 3 0,1 , - 1

P 0,0 , 1 = - 1 3 , - 1 3 , 2 3

E essa é a terceira coluna da matriz P na base canônica.

Então a matriz P é:

Passo 3

(b) Para a reflexão, temos:

E 1,1 , 1 = - 1,1 , 1

E 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0

E 0,1 , - 1 = 0,1 , - 1

Mas:

1,0 , 0 = 1 3 1,1 , 1 + 2 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

Aplicando E dos dois lados: E 1,0 , 0 = E 1 3 1,1 , 1 + 2 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

Mas E é linear, então:

E 1,0 , 0 = 1 3 E 1,1 , 1 + 2 3 E 1 , - 1,0 + 1 3 E ( 0,1 , - 1 )

Logo:

P 1,0 , 0 = 1 3 - 1 , - 1 , - 1 + 2 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1 = 1 3 , - 2 3 , - 2 3

E essa é a primeira coluna da matriz E na base canônica!

Vamos fazer a mesma coisa para o vetor 0,1 , 0 .

0,1 , 0 = 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

E 0,1 , 0 = E 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

E 0,1 , 0 = 1 3 E 1,1 , 1 - 1 3 E 1 , - 1,0 + 1 3 E 0,1 , - 1

E 0,1 , 0 = 1 3 - 1 , - 1 , - 1 - 1 3 1 , - 1,0 + 1 3 0,1 , - 1

E 0,1 , 0 = - 2 3 , 1 3 , - 2 3

Essa é a segunda coluna da matriz E na base canônica.

Por último, vamos para o vetor 0,0 , 1 .

0,0 , 1 = 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 - 2 3 0,1 , - 1

E 0,0 , 1 = E 1 3 1,1 , 1 - 1 3 1 , - 1,0 - 2 3 0,1 , - 1

E 0,0 , 1 = 1 3 E 1,1 , 1 - 1 3 E 1 , - 1,0 - 2 3 E 0,1 , - 1

E 0,0 , 1 = 1 3 - 1 , - 1 , - 1 - 1 3 1 , - 1,0 - 2 3 0,1 , - 1

E 0,0 , 1 = - 2 3 , - 2 3 , 1 3

E essa é a terceira coluna da matriz E na base canônica.

Então a matriz E é:

Passo 4

(c) Observe que:

P ∘ E 1,1 , 1 = P - 1 , - 1 , - 1 = 0,0 , 0 = P ( 1,1 , 1 )

P ∘ E 1 , - 1,0 = P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0 = P 1 , - 1,0

P ∘ E 0,1 , - 1 = P 0,1 , - 1 = 0,1 , - 1 = P ( 0,1 , - 1 )

Ou seja, P ∘ E e P são iguais quando aplicadas aos vetores da base, portanto as matrizes que as representam são iguais.

Passo 5

(d) Sabemos que o plano tem dimensão 2, então tem dois vetores na sua base.

Vamos chamar de v 1   e   v 2 os vetores da base do plano ρ .

Se w = ( x , y , z ) é um vetor do plano ρ pedido, então:

w = α v 1 + β v 2

E:

P w = P α v 1 + β v 2

P w = α P v 1 + β P v 2

Mas como w ∈ ρ , P w = P ρ que é uma reta.

Então P(w) só é gerado por 1 vetor.

Isso significa que ou P v 1 = 0 ou P v 2 = 0

Então um desses vetores é o vetor 1,1 , 1 ,   pois vimos antes que P 1,1 , 1 = 0,0 , 0 .

Vamos dizer que esse vetor seja o v 1 .

Portanto, qualquer plano ρ que contém o vetor ( 1,1 , 1 ) satisfaz a condição do enunciado.

Podemos dar como resposta por exemplo o plano de equação x - y = 0 ou x - z = 0 ou x + y - 2 = 0 , e assim por diante.

Resposta

(a)

(b)

(c)

(d) Qualquer plano ρ que contém o vetor ( 1,1 , 1 ) , por exemplo o plano x - z = 0 .

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