Determine (geometricamente, não faça contas) o núcleo e a imagem de cada uma das abaixo de em :
Projeção ortogonal na reta gerada pelo vetor
Reflexão em torno do plano
Projeção ortogonal no plano
Passo 1
Sabemos que a projeção mantém inalteradas as componentes do vetor no subespaço em questão e zera as componentes perpendiculares a esse subespaço.
Logo, as componentes do vetor sobre a reta gerada pelo vetor permanecem as mesmas. Já as componentes perpendiculares à reta são zeradas.
Dessa forma, o núcleo da será o plano , que é o plano perpendicular à .
Já a imagem será a própria reta gerada pelo vetor ! Como ele projeta os vetores sobre essa reta, essa só será capaz de gerar vetores dessa reta, percebe?
Passo 2
Ao refletirmos um vetor nós mantemos inalteradas as componentes do vetor no subespaço em questão e multiplicamos por as componentes perpendiculares a esse subespaço.
Sendo assim, as componentes do vetor sobre o plano permanecerão inalteradas enquanto as componentes do eixo serão multiplicadas por .
Como você pode ver, a reflexão não leva nenhum vetor em especial para o . Então como podemos ver, o núcleo é apenas o . Disso, tiramos que a imagem é todo o .
Passo 3
A reflexão não leva nenhum vetor para o . A projeção, por outro lado, leva! A projeção no plano , mantém as componentes nesse plano inalteradas e leva as componentes perpendiculares à esse plano (eixo ) no .
Logo, o núcleo é o eixo , ou ainda a reta gerada pelo vetor . Já a imagem é o plano .
Resposta
Núcleo é o plano perpendicular a , isto é, o plano . Imagem é a reta gerada por .
Núcleo é o somente. Imagem é todo .
Núcleo é a reta gerada por (o eixo ). Imagem é o plano , gerado pelos eixos e .