Seja A a matriz que representa, em relação à base canônica, a projeção ortogonal sobre a reta de equação . A soma das entradas de A é:

(a) 15/13

(b) 20/13

(c) 25/13

(d) 30/13

Vamos dizer que a matriz de projeção na reta dada é uma matriz P.

Se fizermos:

Vamos obter um vetor cuja primeira linha é a soma dos elementos da primeira linha de P e cuja segunda linha é a soma dos elementos da segunda linha de P.

Se eu somo as coordenadas desse vetor, eu tenho as somas dos elementos de P!

Então vamos ter que achar P(1,1).

Pra começar, vamos ver como escrevemos (1,1) na base que achamos no Passo 1:

Multiplicando a primeira equação por

Somando as duas:

Substituindo em qualquer uma das equações, vamos achar:

Beleza, então achamos que:

Aplicando a transformação P dos dois lados:

Mas a transformação de projeção é linear, então:

Mas sabemos quem é e !

Olha só, o vetor pertence ao espaço em que estamos projetando, então a projeção dele vai ser ele mesmo!

Outra forma de dizer isso é:

Já o vetor pertence a um espaço ortogonal ao que estamos projetando, então a projeção dele vai ser o vetor nulo:

Substituindo esses valores:

Lembra que eu falei que esse vetor tem em cada coordenada a soma de uma das linhas de P?

Então vamos somar as duas coordenadas dele pra obter a soma de todas as coordenadas da matriz que representa P!