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Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

Ver Teoria
Exercício 2134567891011121314

Enunciado

Determine a matriz que realiza as seguintes transformações no R 2 :

a   Amplia todos os vetores por um fator k

b   Reflete os vetores em torno do eixo X .

c   Projeta os vetores no eixo X .

d   Reflete os vetores em torno da reta Y = X

Passo 1

a Bom, essa matriz representa a T L que faz o seguinte:

T x , y = ( k x , k y )

Aplicando na base canônica do R 2 :

T 1,0 = k , 0

T 0,1 = 0 , k

Logo,

T = k 0 0 k

Passo 2

b Ao refletirmos os vetores em torno do eixo X , nós estamos mantendo as componentes em X inalteradas e multiplicando as componentes em Y por - 1 . Logo:

T x , y = ( x , - y )

Temos então que:

T 1,0 = 1,0

T 0,1 = 0 , - 1

Com isso,

T = 1 0 0 - 1

Passo 3

c   Quando projetamos os vetores no eixo X , estamos mantendo inalteradas as componentes deles em X e zerando as componentes de Y . Portanto:

T x , y = x , 0

Então,

T 1,0 = 1,0

T 0,1 = 0,0

E

T = 1 0 0 0

Passo 4

d   Essa é um pouco mais complicada. Ela Mantém inalteradas as componentes do vetor sobre a reta x = y e multiplica por - 1 as componentes perpendiculares a ela (sobre a reta x = - y ). Olha essa imagem pra te ajudar:

Opa, agora ficou fácil. O que ela faz, no final das contas, é trocas as componentes x e y dos vetores! Logo:

T x , y = y , x

T 1,0 = ( 0,1 )

T 0,1 = 1,0

Então,

T = 0 1 1 0

Resposta

a   k 0 0 k

b   1 0 0 - 1

c   1 0 0 0

d   0 1 1 0

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