PUCRIO, G4-2019.2
Considere a transformação linear definida por:
- Determine a matriz da transformação linear na base canônica.
- Determine uma base ortonormal da imagem de . Lembre que:
- Considere a base de
Determine a matriz da transformação linear na base .
Passo 1
Belezoca de motoca galerinha, na letra (a), ele quer que a gente encontre a matriz , dado que:
Ou seja, a transformação realiza um produto vetorial com o vetor no espaço. Temos que por definição:
A matriz quando multiplicada pela matriz identidade, resulta nela mesmo. Isso leva que a multiplicação por cada vetor coluna da identidade, resulta numa coluna de :
Logo, se a gente calcular a transformação para cada um desses vetores, vamos obter:
Portanto, nossa matriz na base canônica será:
Passo 2
Show de bolinhas, já na letra (b), queremos uma base ortonormal da imagem de :
Iradoso, uma base pra imagem da matriz, é dada pelas colunas linearmente independentes, dadas por:
Se a gente calcular o produto interno entre os vetores da base, vemos que:
Portanto os vetores já são ortogonais. E agora para tornar eles ortonormais, precisamos normalizar os vetores, dividindo pelo módulo de cada um, desse jeito:
Logo, os vetores normalizados, são:
E a base ortonormal para a imagem de é dada por:
Passo 3
E por fim, na letra (c), queremos com toda sagacidade do mundo, descobrir a matriz , dado que:
Ou seja, queremos descobrir , e pra isso podemos dividir em duas etapas, primeiro vamos descobrir e depois a gente consegue reescrever essa matriz na base pra ela se transformar em . Xuxu beleza, pra gente descobrir , usamos a relação:
Onde são os vetores da base , logo:
Portanto, descobrimos que:
Passo 4
MAAASSS, não queremos , queremos . Então pra isso, a gente pode reescrever os vetores das colunas de , em função da base , desse jeito ó:
Montando um sisteminha:
E dele tiramos que , , , tal que nosso vetor escrito na base é dado por:
Belezoca, e se gente fizer isso para os outros vetores das colunas, vemos que:
E para a terceira coluna, temos que:
Portanto, nossa matriz é dada por: