Considere a transformação linear T : R 3 → R 3 definida por:

T v = v × 0 ,   - 1 ,   1

  1. Determine a matriz T ε da transformação linear T na base canônica.
  2. Determine uma base ortonormal η da imagem de T . Lembre que: i m a g e m T = w ∈ R 3   t a l   q u e   e x i s t e   v ∈ R 3   t a l   q u e   T v = w
  3. Considere a base de R 3

γ = 0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0

Determine a matriz T γ da transformação linear T na base γ .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, na letra (a), ele quer que a gente encontre a matriz T ε , dado que:

T v = v × 0 ,   - 1 ,   1

Ou seja, a transformação T realiza um produto vetorial com o vetor 0 ,   - 1 ,   1 no espaço. Temos que por definição:

T 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = T

A matriz T quando multiplicada pela matriz identidade, resulta nela mesmo. Isso leva que a multiplicação por cada vetor coluna da identidade, resulta numa coluna de T :

T 1 0 0 = 1 º   coluna de   T ,     T 0 1 0 = 2 º   coluna de   T ,     T 0 0 1 = 3 º   coluna de   T

Logo, se a gente calcular a transformação para cada um desses vetores, vamos obter:

T 1 0 0 = i j k 1 0 0 0 - 1 1 = 0 - 1 - 1

T 0 1 0 = i j k 0 1 0 0 - 1 1 = 1 0 0

T 0 0 1 = i j k 0 0 1 0 - 1 1 = 1 0 0

Portanto, nossa matriz na base canônica será:

T ε = 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0

Passo 2

Show de bolinhas, já na letra (b), queremos uma base ortonormal η da imagem de T :

T ε = 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0

Iradoso, uma base pra imagem da matriz, é dada pelas colunas linearmente independentes, dadas por:

0 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0

Se a gente calcular o produto interno entre os vetores da base, vemos que:

0 ,   - 1 ,   - 1 ,   ( 1 ,   0 ,   0 ) = 0 1 + - 1 0 + - 1 0

0 ,   - 1 ,   - 1 ,   ( 1 ,   0 ,   0 ) = 0

Portanto os vetores já são ortogonais. E agora para tornar eles ortonormais, precisamos normalizar os vetores, dividindo pelo módulo de cada um, desse jeito:

0 ,   - 1 ,   - 1 = 0 2 + - 1 2 + - 1 2 = 2

1 ,   0 ,   0 = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

Logo, os vetores normalizados, são:

1 2 0 ,   - 1 ,   - 1 , 1 1 1 ,   0 ,   0

E a base ortonormal η para a imagem de T é dada por:

η = 0 ,   - 1 2 ,   - 1 2 ,   1 ,   0 ,   0

Passo 3

E por fim, na letra (c), queremos com toda sagacidade do mundo, descobrir a matriz T γ , dado que:

γ = 0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0

Ou seja, queremos descobrir T γ γ , e pra isso podemos dividir em duas etapas, primeiro vamos descobrir T ε γ e depois a gente consegue reescrever essa matriz na base γ pra ela se transformar em T γ γ . Xuxu beleza, pra gente descobrir T ε γ , usamos a relação:

T ε γ = ↑ ↑ … ↑ T ε v 1 T ε v 2 …   T ε v n ↓ ↓ … ↓

Onde v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n são os vetores da base γ = 0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 , logo:

T ε v 1 = 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0 0 1 1 = 2 0 0

T ε v 2 = 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0 0 1 - 1 = 0 0 0

T ε v 3 = 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0 1 0 0 = 0 - 1 - 1

Portanto, descobrimos que:

T ε γ = 2 0 0 0 0 - 1 0 0 - 1

Passo 4

MAAASSS, não queremos T ε γ , queremos T γ γ . Então pra isso, a gente pode reescrever os vetores das colunas de T ε γ , em função da base γ = 0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 , desse jeito ó:

2 ,   0 ,   0 = a 0 ,   1 ,   1 + b 0 ,   1 ,   - 1 + c 1 ,   0 ,   0

Montando um sisteminha:

0 a + 0 b + c = 2 a + b + 0 c = 0 a - b + 0 c = 0

E dele tiramos que c = 2 , a = 0 , b = 0 , tal que nosso vetor 2 ,   0 ,   0 escrito na base γ é dado por:

2 ,   0 ,   0 γ = a ,   b ,   c

2 ,   0 ,   0 γ = 0 ,   0 ,   2

Belezoca, e se gente fizer isso para os outros vetores das colunas, vemos que:

0 ,   0 ,   0 = a 0 ,   1 ,   1 + b 0 ,   1 ,   - 1 + c 1 ,   0 ,   0

a = 0 ,     b = 0 ,     c = 0

0 ,   0 ,   0 γ = 0 ,   0 ,   0

E para a terceira coluna, temos que:

0 ,   - 1 ,   - 1 = a 0 ,   1 ,   1 + b 0 ,   1 ,   - 1 + c 1 ,   0 ,   0

a = - 1 ,     b = 0 ,     c = 0

0 ,   - 1 ,   - 1 γ = - 1 ,   0 ,   0

Portanto, nossa matriz T γ γ é dada por:

T γ γ = 0 0 - 1 0 0 0 2 0 0

Resposta

  1. T ε = 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0
  2. η = 0 ,   - 1 2 ,   - 1 2 ,   1 ,   0 ,   0
  3. T γ γ = 0 0 - 1 0 0 0 2 0 0

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