Considere as seguintes transformações lineares de em : , a reflexão através da reta ; , a projeção (ortogonal) sobre a reta y=0; , a transformação obtida pela composição de ambas, aplicando-se primeiro e em seguida . A matriz de é:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vamos começar lembrando que uma matriz representa uma transformação linear, e uma transformação é um outro nome para função!
Assim como as funções, também podemos compor transformações lineares.
Se aplicamos primeiro a transformação B e depois a A, a composta vai ser dada por:
Então, se encontrarmos a matriz para a transformação R e a matriz para a P, podemos encontrar a de T, que é a composta das duas, fazendo:
já que primeiro foi aplicado R e depois P.
Agora vamos ver como podemos achar essas matrizes.
Passo 2
é a transformação de em que faz a reflexão através da reta .
Então, pegando dois vetores e , o efeito de nesses vetores vai ser:
Na primeira linha, temos a primeira coluna de , enquanto na segunda temos a segunda coluna de .
Logo, a matriz que representa essa transformação é:
Passo 3
é a transformação de em que faz a projeção ortogonal na reta , que é na verdade o eixo x.
Então, de novo pegando dois vetores e , o efeito de P nesses vetores vai ser:
Na primeira linha, temos a primeira coluna de , enquanto na segunda temos a segunda coluna de .
Logo, a matriz que representa essa transformação é:
Passo 4
Agora para achar a matriz composta de P com R, aplicando primeiro R e depois a P, fazemos:
Resposta
(a)