Seja A   uma matriz 2 × 2 cujas colunas formam um conjunto linearmente independente. Assinale a alternativa FALSA:

a) A pode representar uma reflexão por alguma reta do plano

b)   A pode representar uma projeção em alguma reta do plano

c) A pode representar uma reflexão pela origem do plano

d) A   pode representar uma rotação no plano

Passo 1

Bom, se as colunas formam um conjunto linearmente independente, a dimensão da nossa imagem vai ser 2. Como temos a dimensão do domínio, conseguimos achar a dimensão da imagem pelo TNI:

dim ⁡ ( N u c A ) + dim ⁡ I m A = 2

dim ⁡ ( N u c A ) = 2 - 2 = 0

Assim, não tem nenhum vetor aplicado nessa matriz que leve ao zero, exceto o vetor nulo.

Vamos pensar nessas transformações geométricas das opções.

Passo 2

Passo 3

Nas letras (a) e (c) ele fala de reflexão, vamos tentar visualizar isso, existe algum vetor não nulo que é zerado depois de refletido? Não!! E rotacionado, como na letra (d)? Também não.

Logo, essa matriz pode representar todas essas transformações! A resposta falsa deve ser a (b), mas vamos entender isso: na (b) temos uma projeção, se projetarmos em uma reta um vetor perpendicular a ela, a resposta vai ser nula! Logo a dimensão do núcleo deveria ser 1 ≠ 0 !

Resposta

b

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