Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas

Exercício 7 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14

Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.1, Questão 16

Seja uma matriz cujas colunas formam um conjunto linearmente independente. Assinale a alternativa FALSA:

a) pode representar uma reflexão por alguma reta do plano

b) pode representar uma projeção em alguma reta do plano

c) pode representar uma reflexão pela origem do plano

d) pode representar uma rotação no plano

Passo 1

Bom, se as colunas formam um conjunto linearmente independente, a dimensão da nossa imagem vai ser 2. Como temos a dimensão do domínio, conseguimos achar a dimensão da imagem pelo TNI:

Assim, não tem nenhum vetor aplicado nessa matriz que leve ao zero, exceto o vetor nulo.

Vamos pensar nessas transformações geométricas das opções.

Passo 2

Passo 3

Nas letras (a) e (c) ele fala de reflexão, vamos tentar visualizar isso, existe algum vetor não nulo que é zerado depois de refletido? Não!! E rotacionado, como na letra (d)? Também não.

Logo, essa matriz pode representar todas essas transformações! A resposta falsa deve ser a (b), mas vamos entender isso: na (b) temos uma projeção, se projetarmos em uma reta um vetor perpendicular a ela, a resposta vai ser nula! Logo a dimensão do núcleo deveria ser !

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 17-20, encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.20. x 1 + 3 x 2 - 4 x 3 = 0x 1 + 2 x 2 + 3

22.(a) A equação x + y = 1 pode ser vista como um sistema linear de uma equação em duas incógnitas. Expresse uma solução geral dessa equação como uma solução particular somada com uma solução geral do

Nos Exercícios 27-28, encontre uma solução geral do sistema e use essa solução para encontrar uma solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado. 27. 3 4 1 2 6 8

Nos Exercícios 13-14, encontre as equações vetoriais e paramétricas da reta em R 2 que passa pela origem e é ortogonal a v .13. v = - 2,3