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Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Exercício 61234578910111213

Enunciado

Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano π : x + y + z = 0 e que forma 45 graus com o plano π 1 : x - y = 0 .

Passo 1

Mais um e acabou!!

Bora fazer para fechar esse tópico com chave de ouro!! Haha

O enunciado nos pede para determinar o vetor diretor de uma reta. Sendo que, essa reta é paralela ao plano π e forma 45 ° com o plano   π 1 . Vamos tirar as informações que temos:

π :   n → = 1 ,   1 ,   1   e   p a r a l e l o   à   r e t a

  π 1 :   n 1 → = 1 ,   - 1 ,   0 e   f o r m a   45 °   c o m   a   r e t a

r e t a :   r → = ( a ,   b ,   c )

Passo 2

Vamos começar com os dados que temos do plano π ! Como esse plano é paralelo à reta, sabemos que :

  n → ∙ r → = 0

Então, teremos:

1 ,   1 ,   1 ∙ a ,   b ,   c = a + b + c = 0

a + b + c = 0 → c = - a - b

Temos uma primeira relação.

Passo 3

A segunda relação iremos tirar das informações sobre o plano   π 1 ! Sabemos que a fórmula do ângulo entre reta e plano é:

sin  ⁡ θ = r → ∙   n 1 → r → |   n 1 → |

Temos,

sin ⁡ 45 ° = 2 2

r → ∙   n 1 → = a , b ,   c ∙ 1 ,   - 1 ,   0 = | a - b |

r → = a 2 + b 2 + c 2

| n 1 | → = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

Subsituindo os valoers na fórmula:

sin  ⁡ θ = r → ∙   n 1 → r → |   n 1 → | →   2 2 = a - b 2 a 2 + b 2 + c 2

Substituindo c = - a - b :

2 2 = a - b 2 a 2 + b 2 + ( - a - b ) 2

Resolvendo:

a 2 + 4 a b + b 2 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau em a , teremos:

a = - 2 b ± b 3

S e   b = 1 → a = - 2 ± 3

Substituindo c = - a - b :

S e   a = - 2 + 3 → c = 1 - 3

S e   a =   - 2 - 3 → c = 1 + 3

Então, teremos duas retas, com vetores diretores:

- 2 + 3 ,   1 ,   1 - 3         e           ( - 2 - 3 ,   1 ,   1 + 3 )

Resposta

- 2 + 3 ,   1 ,   1 - 3         e           ( - 2 - 3 ,   1 ,   1 + 3 )

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