Considere o plano de equação , e os pontos

Sejam as projeções ortogonais dos pontos sobre o plano . Qual das seguintes alternativas contêm as equações da reta que passa por ?

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Para podermos obter as retas que passam por , primeiro precisamos descobrir que são esses pontos.

Bem, são as projeções ortogonais dos pontos sobre o plano . Já tem uma ideia de como vamos encontrar esses pontos?

Que tal se fizermos o seguinte processo. Pegamos o vetor perpendicular ao plano e definimos a reta gerada por esse vetor e que passa no ponto , então nossa projeção ortogonal será o ponto que a reta intercepta o plano. Bacana né?

Vamos começar calculando o vetor normal ao plano.

Bem, dado um plano qualquer, seu vetor normal será:

Então o vetor perpendicular ao nosso plano é:

Agora que sabemos que o vetor normal ao plano é:

Podemos construir a reta que passa por e tem esse vetor como vetor diretor.

De modo análogo, a reta que passa por e tem esse vetor como vetor diretor é:

Vamos encontrar por definição, esse ponto será a projeção ortogonal de sobre . Mas falamos nos passos anteriores que esse ponto será a interseção da reta com o plano .

Para isso precisamos que:

satisfaça a equação do plano

.

Juntando as duas equações temos:

Mas se nosso ponto é:

(fazendo t=-1)

Bacana né? Agora vamos encontrar

(tem só um pouco de conta, kkkk)

Agora vamos calcular

Vamos encontrar por definição, esse ponto será a projeção ortogonal de sobre . Mas falamos nos passos anteriores que esse ponto será a interseção da reta com o plano .

Para isso precisamos que:

satisfaça a equação do plano

.

Juntando as duas equações temos:

Mas se nosso ponto é:

(fazendo t=-3/2)

Para finalizar, só precisamos achar a reta que passa por . Lembram como constrói essa reta?

A reta que passa por dois pontos é dada por:

( + A

No nosso caso, temos:

então temos que:

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊